2016_退役省自主命题 (2016·理)
16．（本小题满分 12 分）
我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准 $x$（吨）、一位居民的月用水量不超过 $x$ 的部分按平价收费，超出 $x$ 的部分按议价收费。为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照 $[0,0.5),[0.5,1), \cdots,[4,4.5)$ 分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（I）求直方图中 $a$ 的值；
（II）设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数，并说明理由；
（III）若该市政府希望使 $85 \%$ 的居民每月的用水量不超过标准 $x$（吨），估计 $x$ 的值，并说明理由．
【答案】（ I ）$a=0.30$ ；（II） 36000 ；（III） 2.9 ．
## 【解析】
试题分析：（I）由高 × 组距 $=$ 频率，计算每组中的频率，因为所有频率之和为 1 ，计算出 $a$ 的值；（II）利用高 × 组距 $=$ 频率，先计算出每人月均用水量不低于 3 吨的频率，再利用频率 × 样本总数 $=$ 频数，计算所求人数；（III）将前 6 组的频率之和与前 5 组的频率之和进行比较，得出 $2.5 \leq x<3$ ，再进行计算．
试题解析：（I）由频率分布直方图知，月均用水量在 $[0,0.5)$ 中的频率为 $0.08 \times 0.5=0.04$ ，同理，在 $[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5)$ 中的频率分别为 $0.08,0.20,0.26,0.06,0.04$ ， 0.02 ．由 $0.04+0.08+0.5 \times a+0.20+0.26+0.5 \times a+0.06+0.04+0.02=1$ ，解得 $a=0.30$ ．
（ II ）由（ I ），100位居民每人月均用水量不低于 3 吨的频率为 $0.06+0.04+0.02=0.12$ ．
由以上样本的频率分布，可以估计全市 30 万居民中月均用水量不低于 3 吨的人数为 $300000 \times 0.12=36000$ ．
（III）因为前 6 组的频率之和为 $0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85$ ，
而前 5 组的频率之和为 $0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85$ ，
所以 $2.5 \leq x<3$ ．
由 $0.3 \times(x-2.5)=0.85-0.73$ ，
解得 $x=2.9$ ．
所以，估计月用水量标准为 2.9 吨时， $85 \%$ 的居民每月的用水量不超过标准．
考点：频率分布直方图．
【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题解
决问题的能力。在频率分布直方图中，第个小矩形面积就是相应的频率或概率，所有小矩形面积之和为 1 ，这是解题的关键，也是识图的基础。