已知矩阵 A = [ array ll 0 & 1 1 &…——2017 高考数学第 22 题答案解析

【解答】
（2017•江苏）已知矩阵 $\mathrm{A}=\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right], \mathrm{B}=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 2\end{array}\right]$ ．
（1）求 $A B$ ；
（2）若曲线 $C_{1}: \frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{2}=1$ 在矩阵 $A B$ 对应的变换作用下得到另一曲线 $C_{2}$ ，求 $\mathrm{C}_{2}$ 的方程．

【分析】（1）按矩阵乘法规律计算；
（2）求出变换前后的坐标变换规律，代入曲线 $\mathrm{C}_{1}$ 的方程化简即可。
【解答】解：（1） $\mathrm{AB}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}0 & 2 \\ 1 & 0\end{array}\right)$ ，
②设点 $P(x, y)$ 为曲线 $C_{1}$ 的任意一点，
点 $P$ 在矩阵 $A B$ 的变换下得到点 $P^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，
则 $\left(\begin{array}{ll}0 & 2 \\ 1 & 0\end{array}\right)\binom{x}{y}=\binom{2 y}{x}$ ，即 $x_{0}=2 y, y_{0}=x$ ，
$\therefore x=y_{0}, \quad y=\frac{x_{0}}{2}$ ，
$\therefore \frac{\mathrm{y}_{0}^{2}}{8}+\frac{\mathrm{x}_{0}^{2}}{8}=1$ ，即 $\mathrm{x}_{0}^{2}+\mathrm{y}_{0}^{2}=8$ ，
∴ 曲线 $\mathrm{C}_{2}$ 的方程为 $\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=8$ ．
【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换，属于中档题．