平面解析几何　·　历年高考数学真题与解析

22．在直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点 $O$ 为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \sin \theta\left(\frac{\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\right)$ ，曲线 $C_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=2 \cos \alpha \\ y=2 \sin \alpha\end{array}\right.$（ $\alpha$ 为参数，$\left.\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\right)$ ．
（1）写出 $C_{1}$ 的直角坐标方程；
（2）若直线 $y=x+m$ 既与 $C_{1}$ 没有公共点，也与 $C_{2}$ 没有公共点，求 $m$ 的取值范围．

22．已知 $P(2,1)$ ，直线 $l:\left\{\begin{array}{l}x=2+t \cos \alpha \\ y=1+t \sin \alpha\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），$\alpha$ 为 $l$ 的倾斜角，$l$ 与 $x$ 轴，$y$ 轴正半轴交于 $A, B$ 两点，$|P A| \cdot|P B|=4$ ．
（1）求 $\alpha$ 的值；
（2）以原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 $l$ 的极坐标方程．

8．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的＂会圆术＂，如图，$\overparen{A B}$是以 $O$ 为圆心，$O A$ 为半径的圆弧，$C$ 是 $A B$ 的中点，$D$ 在 $\overparen{A B}$ 上，$C D \perp A B$ ．＂会圆术＂给出 $\overparen{A B}$ 的弧长的近似值 $s$ 的计算公式：$s=A B+\frac{C D^{2}}{O A}$ ．当 $O A=2, \angle A O B=60^{\circ}$ 时，$s=$（ ）

5．已知半径为 1 的圆经过点 $(3,4)$ ，则其圆心到原点的距离的最小值为 ．

22．已知矩阵 $\mathrm{A}=\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right], \mathrm{B}=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 2\end{array}\right]$ ．
（1）求 $A B$ ；
（2）若曲线 $C_{1}: \frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{2}=1$ 在矩阵 $A B$ 对应的变换作用下得到另一曲线 $C_{2}$ ，求 $\mathrm{C}_{2}$ 的方程．

14．（5 分）（2016 • 山东）在 $[-1,1]$ 上随机地取一个数 k ，则事件＂直线 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}$ 与圆（ $\mathrm{x}-5$ ） ${ }^{2}+y^{2}=9$ 相交＂发生的概率为 $\_\_\_\_$。

14．如图，圆 $O$ 的弦 $A B, C D$ 相交于点 $E$，过点 $A$ 作圆 $O$ 的切线与 $D C$ 的延长线交于点 $P$，若 $P A=6$， $A E=9, P C=3, C E: E D=2: 1$，则 $B E=$ $\_\_\_\_$．

题（14）중

15．（2015•广东）如图， AB 为圆 O 的直径， E 为 AB的延长线上一点，过 E 作圆 O 的切线，切点为 C ，过 A 作直线 EC 的垂线，垂足为 D ．若 $\mathrm{AB}=4$ ． $\mathrm{CE}=2 \sqrt{3}$ ，则 $\mathrm{AD}=$ $\_\_\_\_$ ．

20．（14分）（2015 • 广东）已知过原点的动直线 $l$ 与圆 $C_{1}: x^{2}+y^{2}-6 x+5=0$ 相交于不同的两点A，B．
（1）求圆 $\mathrm{C}_{1}$ 的圆心坐标；
（2）求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程；
（3）是否存在实数 k ，使得直线 $\mathrm{L}: \mathrm{y}=\mathrm{k}(\mathrm{x}-4)$ 与曲线
C 只有一个交点？若存在，求出 k 的取值范围；若不存在，说明理由．

14．过圆外一点 $P$ 作圆的切线 $P A$（ $A$ 为切点），再作割线 $P B C$ 分别交圆于 $B , C$ ，若 $P A=6$ ， $A C=8, B C=9$ ，则 $A B=$

11．（5 分）如图， AB 为圆 O 的直径， PA 为圆 O 的切线， PB 与圆 O 相交于 D ，若 $P A=3, P D: ~ D B=9: 16$ ，则 $P D=-\frac{9}{5} —, A B=$ $\_\_\_\_$ 4 ．

22．（10分）（选修4－1：几何证明选讲）
如图，直线 $A B$ 为圆的切线，切点为 $B$ ，点 $C$ 在圆上，$\angle A B C$ 的角平分线 $B E$ 交圆于点 $E$ ，$D B$ 垂直 $B E$ 交圆于 $D$ 。
（I）证明： $\mathrm{DB}=\mathrm{DC}$ ；
（II）设圆的半径为 $1, B C=\sqrt{3}$ ，延长 $C E$ 交 $A B$ 于点 $F$ ，求 $\triangle B C F$ 外接圆的半径．

22．（10分）（选修4－1：几何证明选讲）
如图，直线 $A B$ 为圆的切线，切点为 $B$ ，点 $C$ 在圆上，$\angle A B C$ 的角平分线 $B E$ 交圆于点 $E$ ，$D B$ 垂直 $B E$ 交圆于 $D$ ．
（I）证明： $\mathrm{DB}=\mathrm{DC}$ ；
（II）设圆的半径为 $1, B C=\sqrt{3}$ ，延长 $C E$ 交 $A B$ 于点 $F$ ，求 $\triangle B C F$ 外接圆的半径．

22．（10分）【选修4－1几何证明选讲】
如图，$C D$ 为 $\triangle A B C$ 外接圆的切线，$A B$ 的延长线交直线 $C D$ 于点 $D, E , F$ 分别为弦 $A B$ 与弦 $A C$ 上的点，且 $B C \bullet A E=D C \bullet A F, B , E , F , C$ 四点共圆。
（1）证明：$C A$ 是 $\triangle A B C$ 外接圆的直径；
（2）若 $D B=B E=E A$ ，求过 $B , E , F , C$ 四点的圆的面积与 $\triangle A B C$ 外接圆面积的比值

22．【选修4－1几何证明选讲】
如图，$C D$ 为 $\triangle A B C$ 外接圆的切线，$A B$ 的延长线交直线 $C D$ 于点 $D, E , F$ 分别为弦 $A B$与弦 $A C$ 上的点，且 $B C \cdot A E=D C \cdot A F, B , E , F , C$ 四点共圆．
（1）证明：$C A$ 是 $\triangle A B C$ 外接圆的直径；

（2）若 $D B=B E=E A$ ，求过 $B , E , F , C$ 四点的圆的面积与 $\triangle A B C$ 外接圆面积的比值

（7）在极坐标系中，圆 $\rho=2 \cos \theta$ 的垂直于极轴的两条切线方程分别为）

9、过点 $(3,1)$ 作圆 $(x-1)^{2}+y^{2}=1$ 的两条切线，切点分别为 $A, B$ ，则直线 $A B$ 的方程为

13．（2012•天津）如图，已知 AB 和 AC 是圆的两条弦，过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于点 D ，过点 C 作 BD的平行线与圆相交于点 E ，与 AB 相交于点 $\mathrm{F}, \mathrm{AF}=3, \mathrm{FB}=1, \mathrm{EF}=\frac{3}{2}$ ，则线段 CD 的长为 $\_\_\_\_$ ．

15．（几何证明选讲选做题）如图3，圆 $O$ 的半径为 $1, \mathrm{~A}, \mathrm{~B}, \mathrm{C}$ 是圆上三点，且满足 $\angle A B C=30^{\circ}$ ，过点 A 做圆 $O$ 的切线与 $O C$ 的延长线交与点 P ，则 $\mathrm{PA}=$ $\_\_\_\_$。

图3

14．过直线 $x+y-2 \sqrt{2}=0$ 上点 P 作 $x^{2}+y^{2}=1$ 的两条切线，若两条切线的夹角是 $60^{0}$ ，则点 P 的坐标是

10．如图1所示，过 $\odot O$ 外一点 P 作一条直线与 $\odot O$ 交于 A ， B 两点．已知 $\mathrm{PA}=2$ ，点 P 到 $\odot O$ 的切线长 $\mathrm{PT}=4$ ，则弦 AB 的长为 $\_\_\_\_$。

14．若 $\odot O_{1}: x^{2}+y^{2}=5$ 与 $\odot O_{2}:(x-m)^{2}+y^{2}=20(m \in R)$ 相交于 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 两点，且两圆在点 A 处的切线互相垂直，则线段 AB 的长度是 $\_\_\_\_$

21．（本小题满分 14 分）
已知曲线 $C_{n}: x^{2}-2 n x+y^{2}=0(n=1,2, \ldots)$ ．从点 $P(-1,0)$ 向曲线 $C_{n}$ 引斜率为 $k_{n}\left(k_{n}>0\right)$ 的切线 $l_{n}$ ，切点为 $P_{n}\left(x_{n}, y_{n}\right)$ ．
（1）求数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 与 $\left\{y_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）证明：$x_{1} \cdot x_{3} \cdot x_{5} \cdots x_{2 n-1}<\sqrt{\frac{1-x_{n}}{1+x_{n}}}<\sqrt{2} \sin \frac{x_{n}}{y_{n}}$

7．过直线 $y=x$ 上的一点作圆 $(x-5)^{2}+(y-1)^{2}=2$ 的两条切线 $l_{1}, l_{2}$ ，当直线 $l_{1}, l_{2}$ 关于 $y=x$ 对称时，它们之间的夹角为（ ）