平面解析几何　·　历年高考数学真题与解析

22．已知点 $P(2,1)$ ，直线 $l:\left\{\begin{array}{c}x=2+t \cos \alpha, \\ y=1+t \sin \alpha\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），$\alpha$ 为 $l$ 的倾斜角，$l$ 与 $x$ 轴正半轴、 $y$ 轴正半轴分别交于 $A, B$ ，且 $|P A| \cdot|P B|=4$ ．
（1）求 $\alpha$ ；
（2）以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 $l$ 的极坐标方程．

15．设点 $A(-2,3), B(0, a)$ ，若直线 $A B$ 关于 $y=a$ 对称的直线与圆 $(x+3)^{2}+(y+2)^{2}=1$ 有公共点，则 $a$的取值范围是

22．在直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为
$\rho=2 \sqrt{2} \cos \theta$.
（1）将 $C$ 的极坐标方程化为直角坐标方程；
②设点 $A$ 的直角坐标为 $(1,0), M$ 为 $C$ 上的动点，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{A P}=\sqrt{2} \overrightarrow{A M}$ ，写出 $P$ 的轨迹 $C_{1}$ 的参数方程，并判断 $C$ 与 $C_{1}$ 是否有公共点．

5．直线 $x=-2$ 与直线 $\sqrt{3} x-y+1=0$ 的夹角为 $\_\_\_\_$ $\frac{\pi}{6}$。
【思路分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角．

22．在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=2-t-t^{2} \\ y=2-3 t+t^{2}\end{array}\right.$（ $t$ 为参数且 $\left.t \neq 1\right), C$ 与坐标轴交于 $A , B$ 两点．
（1）求 $|A B|$ ；
（2）以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 $A B$ 的极坐标方程．

22．在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos ^{k} t, \\ y=\sin ^{k} t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数）。以坐标原点为极点 ，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $4 \rho \cos \theta-16 \rho \sin \theta+3=0$ ．
①当 $k=1$ 时，$C_{1}$ 是什么曲线？
②当 $k=4$ 时，求 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的公共点的直角坐标．

22．已知曲线 $C_{1}, C_{2}$ 的参数方程分别为 $C_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=4 \cos ^{2} \theta, \\ y=4 \sin ^{2} \theta\end{array}\right.$（ $\theta$ 为参数），$C_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=t+\frac{1}{t}, \\ y=t-\frac{1}{t}\end{array}\right.$（ $t$ 为参数）。
（1）将 $C_{1}, C_{2}$ 的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设 $C_{1}, C_{2}$ 的交点为 $P$ ，求圆心在极轴上，且经过极点和 $P$ 的圆的极坐标方程．

22．在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=2-t-t^{2}, \\ y=2-t+t^{2}\end{array}(t\right.$ 为参数且 $t \neq 1), C$ 与坐标轴交于 $A, B$ 两点．
（1）求 $|A B|$ ：
（2）以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 $A B$ 的极坐标方程．

22．已知曲线 $C_{1}, C_{2}$ 的参数方程分别为 $C_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=4 \cos ^{2} \theta, \\ y=4 \sin ^{2} \theta\end{array}\right.$（ $\theta$ 为参数），$C_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=t+\frac{1}{t}, \\ y=t-\frac{1}{t}\end{array}\right.$（ $t$ 为参数）。
（1）将 $C_{1}, C_{2}$ 的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设 $C_{1}, C_{2}$ 的交点为 $P$ ，求圆心在极轴上，且经过极点和 $P$ 的圆的极坐标方程．

5．已知半径为 1 的圆经过点 $(3,4)$ ，则其圆心到原点的距离的最小值为 ．

6．已知圆 $x^{2}+y^{2}-6 x=0$ ，过点 $(1,2)$ 的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为

16．平面直角坐标系中，两动圆 $O_{1} , O_{2}$ 的圆心分别为 $\left(a_{1}, 0\right) ,\left(a_{2}, 0\right)$ ，且两圆均过定点 $(1,0)$ ，
两圆与 $y$ 轴正半轴分别交于点 $\left(0, y_{1}\right) ,\left(0, y_{2}\right)$ ，若 $\ln y_{1}+\ln y_{2}=0$ ，点 $\left(\frac{1}{a_{1}}, \frac{1}{a_{2}}\right)$ 的轨迹为 $\Gamma$ ，
则 $\Gamma$ 所在的曲线可能是（）

22．如图，在极坐标系 $O x$ 中，$A(2,0), B\left(\sqrt{2}, \frac{\pi}{4}\right), C\left(\sqrt{2}, \frac{3 \pi}{4}\right), D(2, \pi)$ ，弧 $\overparen{A B}$ ， $\overparen{B C}, \overparen{C D}$ 所在圆的圆心分别是 $(1,0),\left(1, \frac{\pi}{2}\right),(1, \pi)$ ，曲线 $M_{1}$ 是弧 $\overparen{A B}$ ，曲线 $M_{2}$ 是弧 $\overparen{B C}$ ，曲线 $M_{3}$ 是弧 $\overparen{C D}$ ．

（1）分别写出 $M_{1}, M_{2}, M_{3}$ 的极坐标方程；
（2）曲线 $M$ 由 $M_{1}, M_{2}, M_{3}$ 构成，若点 $P$ 在 $M$ 上，且 $|O P|=\sqrt{3}$ ，求 $P$ 的极坐标．

3．（5 分）已知直线 $l$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=1+3 t, \\ y=2+4 t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），则点 $(1,0)$ 到直线 $l$ 的距离是（ ）

6．（5分）直线 $x+y+2=0$ 分别与 $x$ 轴，$y$ 轴交于 $A$ ，$B$ 两点，点 $P$ 在圆 $(x-2)^{2}+y^{2}=2$上，则 $\triangle A B P$ 面积的取值范围是

8．（5分）直线 $x+y+2=0$ 分别与 $x$ 轴，$y$ 轴交于 $A$ ，$B$ 两点，点 $P$ 在圆 $(x-2)^{2}+y^{2}=2$上，则 $\triangle A B P$ 面积的取值范围是（）

11．（5 分）在极坐标系中，点 A 在圆 $\rho^{2}-2 \rho \cos \theta-4 \rho \sin \theta+4=0$ 上，点 P 的坐标为 $(1,0)$ ，则 $|A P|$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ 1 ．

10．（6 分）（2016 •浙江）已知 $\mathrm{a} \in \mathrm{R}$ ，方程 $\mathrm{a}^{2} \mathrm{x}^{2}+(\mathrm{a}+2) \mathrm{y}^{2}+4 \mathrm{x}+8 \mathrm{y}+5 \mathrm{a}=0$ 表示圆，则圆心坐标是 $\_\_\_\_$ （－2，－4） ，半径是 $\_\_\_\_$ 5。

11．（5 分）在极坐标系中，直线 $\rho \cos \theta-\sqrt{3} \rho \sin \theta-1=0$ 与圆 $\rho=2 \cos \theta$ 交于 $A, B$两点，则 $|A B|=$ $\_\_\_\_$ 2。

15．（5分）设直线 $y=x+2 a$ 与圆 $C: x^{2}+y^{2}-2 a y-2=0$ 相交于 $A$ ，B两点，若 $|A B|=2 \sqrt{3}$ ，则圆 C 的面积为 $\_\_\_\_$ $4 \pi$ ．

15．（5分）已知直线｜：$x-\sqrt{3} y+6=0$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=12$ 交于 $A, B$ 两点，过 $A, B$ 分别作I的垂线与 x 轴交于 C ， D 两点。则 $|\mathrm{CD}|=$

16．（5分）已知直线｜：$m x+y+3 m-\sqrt{3}=0$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=12$ 交于 $A, B$ 两点，过 $A, B$分别作I的垂线与 $x$ 轴交于 $C, D$ 两点，若 $|A B|=2 \sqrt{3}$, 则 $|C D|=\underline{4}$ ．

11．（5 分）在极坐标系中，点 $\left(2, \frac{\pi}{3}\right)$ 到直线 $\rho(\cos \theta+\sqrt{3} \sin \theta)=6$ 的距离为 1 ．

16．（选修 4－4：坐标系与参数方程）
在直角坐标系 $x o y$ 中，以 $O$ 为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线 $l$ 的极坐标方程为 $\rho(\sin \theta-3 \cos \theta)=0$ ，曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=t-\frac{1}{t}, \\ y=t+\frac{1}{t}\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），$l$ 与 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，则 $|A B|=$ $\_\_\_\_$ ．

22．（本小题满分 10 分）选修 4－1：几何证明选讲
如图， AB 切 $\odot \mathrm{O}$ 于点 B，直线 AD 交 $\odot \mathrm{O}$ 于 $\mathrm{D}, \mathrm{E}$ 两点， $\mathrm{BC} \perp \mathrm{DE}$，垂足为 C．
（I）证明：$\angle \mathrm{CBD}=\angle \mathrm{DBA}$；
（II）若 $\mathrm{AD}=3 \mathrm{DC}, \mathrm{BC}=\sqrt{2}$，求 $\odot \mathrm{O}$ 的直径．

22．选修 4－1：几何证明选讲
如图，$A B$ 切 $\odot O$ 于点 $B$ ，直线 $A O$ 交 $\odot O$ 于 $D, E$ 两点，$B C \perp D E$ ，垂足为 $C$ ．
（I）证明：$\angle C B D=\angle D B A$
（II）若 $A D=3 D C, B C=\sqrt{2}$ ，求 $\odot O$ 的直径．

23．选修 4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标版权法 $x O y$ 吕，直线 $l$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=3+\frac{1}{2} t \\ y=\frac{\sqrt{3}}{2} t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），以原点为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，$\odot C$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \sqrt{3} \sin \theta$ ．
（I）写出 $\odot C$ 的直角坐标方程；
（II）$P$ 为直线 $l$ 上一动点，当 $P$ 到圆心 $C$ 的距离最小时，求点 $P$ 的坐标．

7．（5分）已知三点 $A(1,0), B(0, \sqrt{3}), C(2, \sqrt{3})$ 则 $\triangle A B C$ 外接圆的圆心到原点的距离为

11．在平面直角坐标系中，倾斜角为 $\frac{\pi}{4}$ 的直线 $l$ 与曲线 $C:\left\{\begin{array}{l}x=2+\cos \alpha \\ y=1+\sin \alpha\end{array}\right.$ ，（ $\alpha$ 为参数）交于 $A , B$ 两点，且 $|A B|=2$ ，以坐标原点 $O$ 为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线 $l$ 的极坐标方程是 $\_\_\_\_$ ．

12．在平面直角坐标系中，曲线 $C:\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y=1+\frac{\sqrt{2}}{2} t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数）的普通方程为 $\_\_\_\_$

13．已知直线 $a x+y-2=0$ 与圆心为 $C$ 的圆 $(x-1)^{2}+(y-a)^{2}=4$ 相交于 $A, B$ 两点，且 $\triangle A B C$ 为等边三角形，则实数 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的方程分别为 $\rho \sin ^{2} \theta=\cos \theta$ 和 $\rho \sin \theta=1$ ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 $x$ 轴正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 交点的直角坐标为 $\_\_\_\_$。

15．（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在 $A B$ 上且 $E B=2 A E, A C$ 与 $D E$ 交于点 $F$ ，则 $\frac{\triangle C D F \text { 的面积 }}{\triangle A E F \text { 的面积 }}=$ $\_\_\_\_$

16．（选修 4－4：坐标系与参数方程）

已知曲线 $C_{1}$ 的参数方程是 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{t} \\ y=\frac{\sqrt{3 t}}{3}\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），以坐标原点为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程是 $\rho=2$，则 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交点的直角坐标为 $\_\_\_\_$．

17．已知圆 $O: x^{2}+y^{2}=1$ 和点 $A(-2,0)$ ，若定点 $B(b, 0)(b \neq-2)$ 和常数 $\lambda$ 满足：对圆 $O$ 上那个任意一点 $M$ ，都有 $|M B|=\lambda|M A|$ ，则：
①$b=$ $\_\_\_\_$ ；
②$\lambda=$ $\_\_\_\_$ ．

23．（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程

将圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得曲线 $C$ ．
（ I ）写出 $C$ 的参数方程；
（II）设直线 $l: 2 x+y-2=0$ 与 $C$ 的交点为 $P_{1}, P_{2}$ ，以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段 $P_{1} P_{2}$ 的中点且与 $l$ 垂直的直线的极坐标方程．

7．（5 分）已知圆 $\mathrm{C}:(\mathrm{x}-3)^{2}+(\mathrm{y}-4)^{2}=1$ 和两点 $\mathrm{A}(-\mathrm{m}, 0), \mathrm{B}(\mathrm{m}, 0)(\mathrm{m} >0$ ），若圆 C 上存在点 P ，使得 $\angle A P B=90^{\circ}$ ，则 m 的最大值为（）

9．设 $m \in R$，过定点 $A$ 的动直线 $x+m y=0$ 和过定点 $B$ 的动直线 $m x-y-m+3=0$ 交于点 $P(x, y)$，则 $|P A|+|P B|$ 的取值范围是

14．（2013广东，文14）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线 $C$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \cos \theta$ ．以极点为原点，极轴为 $x$ 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线 $C$ 的参数方程为 $\_\_\_\_$ ．

14．已知圆 $O: x^{2}+y^{2}=5$，直线 $l: x \cos \theta+y \sin \theta=1 \quad\left(0<\theta<\frac{\pi}{2}\right)$．设圆 $O$ 上到直线 $l$ 的距离等于 1 的点的个数为 $k$，则 $k=$

（14）如题（14）图，在 $\triangle A B C$ 中，$\angle C=90^{\circ}, \angle A=60^{\circ}, A B=20$ ，过 $C$ 作 $\triangle A B C$ 的外接圆的切线 $C D, B D \perp C D, B D$ 与外接圆交于点 $E$ ，则 $D E$ 的长为 $\_\_\_\_$ ．

15、在平面直角坐标系内，到点 $A(1,2), B(1,5), C(3,6), D(7,-1)$ 的距离之和最小的点的坐标是 $\_\_\_\_$。

20、（本小题满分 13 分）
已知圆 $C$ 的方程为 $x^{2}+(y-4)^{2}=4$，点 $O$ 是坐标原点．直线 $l: y=k x$ 与圆 $C$ 交于 $M, N$ 两点．
（I）求 $k$ 的取值范围；
（II）设 $Q(m, n)$ 是线段 $M N$ 上的点，且 $\frac{2}{|O Q|^{2}}=\frac{1}{|O M|^{2}}+\frac{1}{|O N|^{2}}$．请将 $n$ 表示为 $m$ 的函数．

（7）在极坐标系中，圆 $\rho=2 \cos \theta$ 的垂直于极轴的两条切线方程分别为）

9．（5 分）在极坐标系中，点 $\left(2, \frac{\pi}{6}\right)$ 到直线 $\rho \sin \theta=2$ 的距离等于 $\_\_\_\_$ 1 ．

（10） 6 位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品。已知 6 位同学之间共进行了 13 次交换，则收到 4 份纪念品的同学人数为（ ）

10．在极坐标系中，曲线 $C_{1}: \rho(\sqrt{2} \cos \theta+\sin \theta)=1$ 与曲线 $C_{2}: \rho=a(a>0)$ 的一个交点在极轴上，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

12．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，圆 C 的方程为 $x^{2}+y^{2}-8 x+15=0$ ，若直线 $y=k x-2$ 上至少存在一点，使得以该点为圆心， 1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 $k$ 的最大值是

13．（2012•天津）如图，已知 AB 和 AC 是圆的两条弦，过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于点 D ，过点 C 作 BD的平行线与圆相交于点 E ，与 AB 相交于点 $\mathrm{F}, \mathrm{AF}=3, \mathrm{FB}=1, \mathrm{EF}=\frac{3}{2}$ ，则线段 CD 的长为 $\_\_\_\_$ ．

14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中 $x o y$ 中，曲线 $C_{1}$ 和曲线 $C_{2}$ 的参数方程分别为 $\left\{\begin{array}{l}x=t \\ y=\sqrt{t}\end{array}\right.$（ $t$ 为参数）和 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2} \cos \theta \\ y=\sqrt{2} \sin \theta\end{array}\right.$（ $\theta$ 为参数），则曲线 $C_{1}$ 和曲线 $C_{2}$ 的交点坐标为．

5．过点 $P(1,1)$ 的直线，将圆形区域 $\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 4\right\}$ 分两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为

11．不等式的 $\frac{x^{2}-9}{x-2}>0$ 的解集是

9．（5 分）直线 $\left\{\begin{array}{l}x=2+t \\ y=-1-t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数）与曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=3 \cos \alpha \\ y=3 \sin \alpha\end{array}\right.$（ $\alpha$ 为参数）的交点个数为 $\_\_\_\_$ 2 ．

（9）若 直线 $x-y+1=0$ 与圆 $(x-a)^{2}+y^{2}=2$ 有公共点，则实数 $a$ 取值范围是

9．（5 分）（2011•湖南）在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos \alpha \\ y=1+\sin \alpha\end{array}\right.$（ $\alpha$ 为参数）在极坐标系（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，曲线 $\mathrm{C}_{2}$ 的方程为 $\mathrm{p}(\cos \theta-\sin \theta)+1=0$ ，则 $\mathrm{C}_{1}$ 与 $\mathrm{C}_{2}$ 的交点个数为 $\_\_\_\_$
$\_\_\_\_$。

5．不等式 $|x-2|>x-2$ 的解集是

3．圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 与直线 $y=k x+2$ 没有公共点的充要条件是