2021_全国乙卷 (2021·文)
17．某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 10 件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
| 旧设备 | 9.8 | 10.3 | 10.0 | 10.2 | 9.9 | 9.8 | 10.0 | 10.1 | 10.2 | 9.7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 新设备 | 10.1 | 10.4 | 10.1 | 10.0 | 10.1 | 10.3 | 10.6 | 10.5 | 10.4 | 10.5 |
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 $\bar{x}$ 和 $\bar{y}$ ，样本方差分别记为 $s_{1}^{2}$ 和 $s_{2}^{2}$ ．
（1）求 $\bar{x}, \bar{y}, s_{1}^{2}, s_{2}^{2}$ ；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果
$\bar{y}-\bar{x} \geq 2 \sqrt{\frac{s_{1}^{2}+s_{2}^{2}}{10}}$ ，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）。
答案：
见解析
解析：
$$ \begin{aligned} & \bar{x}=\frac{9.8+10.3+10+10.2+9.9+9.8+10+10.1+10.2+9.7}{10}=10 \\ & \bar{y}=\frac{10.1+10.4+10.1+10+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5}{10}=10.3 \\ & s_{1}^{2}=\frac{1}{10}(0.04+0.09+0.04+0.01+0.04+0.01+0.04+0.09) \\ & =\frac{1}{10} \times 0.36=0.036 \\ & s_{2}^{2}=\frac{1}{10}(0.04+0.01+0.04+0.09+0.04+0.09+0.04+0.01+0.04) \\ & =\frac{1}{10} \times 0.4=0.04 \end{aligned} $$
② $\bar{y}-\bar{x}=10.3-10=0.3$
$$ 2 \sqrt{\frac{s_{1}^{2}+s_{2}^{2}}{10}}=2 \sqrt{\frac{0.036+0.04}{10}}=2 \sqrt{0.0076} $$
∵ 则 $0.3=\sqrt{0.09}>2 \sqrt{0.076}=\sqrt{0.0304}$
，所以可判断新设备生产产品的该项指标的均值
较旧设备有显著提高；
没有显著提高。