2021 全国乙卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

1．已知全集 $U=\{1,2,3,4,5\}$ ，集合 $M=\{1,2\}, ~ N=\{3,4\}$ ，则 $C_{U}(M \cup N)=$（ ）

2．设 $i z=4+3 i$ ，则 $z=()$

3．已知命题 $p: \exists x \in R, \sin x<1$ ；命题 $q: \forall x \in R, e^{|x|} \geq 1$ ，则下列命题中为真命题的是（

4．函数 $f(x)=\sin \frac{x}{3}+\cos \frac{x}{3}$ 的最小正周期和最大值分别是（ ）

5．若 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x+y \geq 4, \\ x-y \leq 2, \text { 则 } z=3 x+y \text { 的最小值为 } \\ y \leq 3,\end{array}\right.$

6． $\cos ^{2} \frac{\pi}{12}-\cos ^{2} \frac{5 \pi}{12}=$

7．在区间 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 随机取 1 个数，则取到的数小于 $\frac{1}{3}$ 的概率为

8．下列函数中最小值为4的是（ ）

9．设函数 $f(x)=\frac{1-x}{1+x}$ ，则下列函数中为奇函数的是（ ）

10．在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$P$ 为 $B_{1} D_{1}$ 的中点，则直线 $P B$ 与 $A D_{1}$ 所成的角为

11．设 $B$ 是椭圆 $C: \frac{x^{2}}{5}+y^{2}=1$ 的上顶点，点 $P$ 在 $C$ 上，则 $|P B|$ 的最大值为

12．设 $a \neq 0$ ，若 $x=a$ 为函数 $f(x)=a(x-a)^{2}(x-b)$ 的极大值点，则

13．已知向量 $\vec{a}=(2,5), \vec{b}=(\lambda, 4)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $\lambda=$

14．双曲线 $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1$ 的右焦点到直线 $x+2 y-8=0$ 的距离为 $\_\_\_\_$ ．

15．记 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，面积为 $\sqrt{3}, \quad B=60^{\circ}$ ， $a^{2}+c^{2}=3 a c$ ，则 $b=$ $\_\_\_\_$ ．

16．以图（1）为正视图，在图（2）（3）（4）（5）中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 $\_\_\_\_$ （写出符合要求的一组答案即可）．  图（1）  图（2）  图（3）  图（4）  图（5）

17．某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 10 件产品，得到各件产品该项指标数据如下： | 旧设备 | 9.8 | 10.3 | 10.0 | 10.2 | 9.9 | 9.8 | 10.0 | 10.1 | 10.2 | 9.7 | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | 新设备 | 10.1 | 10.4 | 10.1 | 10.0 | 10.1 | 10.3 | 10.6 | 10.5 | 10.4 | 10.5 | 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 $\bar{x}$ 和 $\bar{y}$ ，样本方差分别记为 $s_{1}^{2}$ 和 $s_{2}^{2}$ ． （1）求 $\bar{x}, \bar{y}, s_{1}^{2}, s_{2}^{2}$ ； （2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 $\bar{y}-\bar{x} \geq 2 \sqrt{\frac{s_{1}^{2}+s_{2}^{2}}{10}}$ ，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）。

18．如图，四棱锥 $P-A B C D$ 的底面是矩形，$P D \perp$ 底面 $A B C D, M$ 为 $B C$ 的中点，且 $P B \perp A M$ ． （1）证明：平面 $P A M \perp$ 平面 $P B D$ ； （2）若 $P D=D C=1$ ，求四棱锥 $P-A B C D$ 的体积． 

19．设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 1 的等比数列，数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $b_{n}=\frac{n a_{n}}{3}$ 。已知 $a_{1}, 3 a_{2}, 9 a_{3}$ ，成等差数列． （1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式； （2）记 $S_{n}$ ，和 $T_{n}$ 分别为 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．证明：$T_{n}<\frac{S_{n}}{2}$ ．

20．已知抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点 $F$ 到准线的距离为 2 ． （1）求 $C$ 的方程， （2）已知 $O$ 为坐标原点，点 $P$ 在 $C$ 上，点 $Q$ 满足 $\overrightarrow{P Q}=9 \overrightarrow{Q F}$ ，求直线 $O Q$ 斜率的最大值

21．已知函数 $f(x)=x^{3}-x^{2}+a x+1$ ． （1）讨论 $f(x)$ 的单调性； （2）求曲线 $y=f(x)$ 过坐标原点的切线与曲线 $y=f(x)$ 的公共点的坐标．

22．在直角坐标系 $x O y$ 中，$\odot C$ 的圆心为 $C(2,1)$ ，半径为 1 ． （1）写出 $\odot C$ 的一个参数方程； （2）过点 $F(4,1)$ 作 $\odot C$ 的两条切线．以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立坐标系，求这两条切线的极坐标方程．

23．已知函数 $f(x)=|x-a|+|x+3|$ ． （1）当 $a=1$ 时，求不等式 $f(x) \geq 6$ 的解集； （2）若 $f(x)>-a$ ，求 $a$ 的取值范围．