（本小题满分 13 分，（1）小问 7 分，（2）小问 6…——2015 高考数学第 18 题答案解析

【答案】（1）最小正周期为 $\boldsymbol{p}$ ，最大值为 $\frac{2-\sqrt{3}}{2}$ ；②$f(x)$ 在 $\left[\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{12}\right]$ 上单调递增；$f(x)$ 在 $\left[\frac{5 \pi}{12}, \frac{2 \pi}{3}\right]$上单调递减．

## 【解析】

试题分析 ：三角函数问题一般方法是把函数转化为一个角，一个函数，一次式，即为 $A \sin (\varepsilon x+\varphi)+k$ 形式，然后根据正弦函数的性质求得结论，本题利用诱导公式、倍角公式、两角差的正弦公式可把函数转化为 $f(x)=\sin \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，这样根据正弦函数性质可得（1）周期为 $T=\frac{2 \pi}{2}=\pi$ ，最大值为 $1-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ；②由已知条件得 $0 \leq 2 x-\frac{\pi}{3} \leq \pi$ ，而正弦函数在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 和 $\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$ 上分别是增函数和减函数，因此可得 $f(x)$ 单调区间。

试题解析 ：（1）$f(x)=\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right) \sin x-\sqrt{3} \cos ^{2} x=\cos x \sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}(1+\cos 2 x)$
$=\frac{1}{2} \sin 2 x-\frac{\sqrt{3}}{2}(1+\cos 2 x)=\frac{1}{2} \sin 2 x-\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2 x-\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，
因此 $f(x)$ 的最小正周期为 $\pi$ ，最大值为 $\frac{2-\sqrt{3}}{2}$ ．
（2）当 $x \in\left[\frac{\pi}{6}, \frac{2 \pi}{3}\right]$ 时，有 $0 \leq 2 x-\frac{\pi}{3} \leq \pi$ ，从而
当 $0 \leq 2 x-\frac{\pi}{3} \leq \frac{\pi}{2}$ 时，即 $\frac{\pi}{6} \leq x \leq \frac{5 \pi}{12}$ 时，$f(x)$ 单调递增，
当 $\frac{\pi}{2} \leq 2 x-\frac{\pi}{3} \leq \pi$ 时，即 $\frac{5 \pi}{12} \leq x \leq \frac{2 \pi}{3}$ 时，$f(x)$ 单调递减，
综上可知，$f(x)$ 在 $\left[\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{12}\right]$ 上单调递增；$f(x)$ 在 $\left[\frac{5 \pi}{12}, \frac{2 \pi}{3}\right]$ 上单调递减．
【考点定位】三角函数的恒等变换，周期，最值，单调性，考查运算求解能力．
【名师点晴】三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解，三角函数的值域、三角函数的单调性也可以使用导数的

方法进行研究。