（（本小题满分 12 分） 已知函数 f(x)=2 cos…——2014 高考数学第 18 题答案解析

【答案】（1）$f\left(\frac{5 \pi}{4}\right)=2$ ；②$T=\pi, f(x)$ 的单调递增区间为 $\left[k \pi-\frac{3 \pi}{8}, k \pi+\frac{\pi}{8}\right], k \in Z$ ．
【解析】

试题分析：思路一：（1）直接将 $\frac{5 \pi}{4}$ 代入函数式，应用三角函数诱导公式计算．
（2）应用和差倍半的三角函数公式，将函数化简 $\sqrt{2} \sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)+1$ ．
得到 $T=\frac{2 \pi}{2}=\pi$ ．
由 $2 k \pi-\frac{\pi}{2} \leq 2 x+\frac{\pi}{4} \leq 2 k \pi+\frac{\pi}{2}, k \in Z$ ，
解得 $k \pi-\frac{3 \pi}{8} \leq x \leq k \pi+\frac{\pi}{8}, k \in Z$ ．
思路二：先应用和差倍半的三角函数公式化简函数 $f(x)=2 \sin x \cos x+2 \cos ^{2} x$
$=\sqrt{2} \sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)+1$
（1）将 $\frac{5 \pi}{4}$ 代入函数式计算；
②$T=\frac{2 \pi}{2}=\pi$
由 $2 k \pi-\frac{\pi}{2} \leq 2 x+\frac{\pi}{4} \leq 2 k \pi+\frac{\pi}{2}, k \in Z$ ，
解得 $k \pi-\frac{3 \pi}{8} \leq x \leq k \pi+\frac{\pi}{8}, k \in Z$ ．

试题解析：解法一：（1）$f\left(\frac{5 \pi}{4}\right)=2 \cos \frac{5 \pi}{4}\left(\sin \frac{5 \pi}{4}+\cos \frac{5 \pi}{4}\right)$
$=-2 \cos \frac{\pi}{4}\left(-\sin \frac{\pi}{4}-\cos \frac{\pi}{4}\right)$
$=2$
（2）因为 $f(x)=2 \sin x \cos x+2 \cos ^{2} x$
$=\sin 2 x+\cos 2 x+1$
$=\sqrt{2} \sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)+1$ ．
所以 $T=\frac{2 \pi}{2}=\pi$ ．
由 $2 k \pi-\frac{\pi}{2} \leq 2 x+\frac{\pi}{4} \leq 2 k \pi+\frac{\pi}{2}, k \in Z$ ，
得 $k \pi-\frac{3 \pi}{8} \leq x \leq k \pi+\frac{\pi}{8}, k \in Z$ ，
所以 $f(x)$ 的单调递增区间为 $\left[k \pi-\frac{3 \pi}{8}, k \pi+\frac{\pi}{8}\right], k \in Z$ ．
解法二：

因为 $f(x)=2 \sin x \cos x+2 \cos ^{2} x$
$=\sin 2 x+\cos 2 x+1$
$=\sqrt{2} \sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)+1$
①$f\left(\frac{5 \pi}{4}\right)=\sqrt{2} \sin \frac{11 \pi}{4}+1=\sqrt{2} \sin \frac{\pi}{4}+1=2$
②$T=\frac{2 \pi}{2}=\pi$
由 $2 k \pi-\frac{\pi}{2} \leq 2 x+\frac{\pi}{4} \leq 2 k \pi+\frac{\pi}{2}, k \in Z$ ，
得 $k \pi-\frac{3 \pi}{8} \leq x \leq k \pi+\frac{\pi}{8}, k \in Z$ ，
所以 $f(x)$ 的单调递增区间为 $\left[k-\frac{3 \pi}{8}, k \pi+\frac{\pi}{8}\right], k \in Z$ ．
考点：和差倍半的三角函数公式，三角函数诱导公式，三角函数的图象和性质。