（13分）（2016•天津）已知函数 f ( x )=4…——2016 高考数学第 15 题答案解析

【解答】
（13分）（2016•天津）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=4 \tan x \sin \left(\frac{\pi}{2}-\mathrm{x}\right) \cos \left(\mathrm{x}-\frac{\pi}{3}\right)-\sqrt{3}$ ．
（1）求 f （ x ）的定义域与最小正周期；
（2）讨论 $f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$ 上的单调性。

【分析】（1）利用三角函数的诱导公式以及两角和差的余弦公式，结合三角函数的辅助角公式进行化简求解即可。
（2）利用三角函数的单调性进行求解即可。
【解答】解：（1）$\because f(x)=4 \tan x \sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right) \cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right)-\sqrt{3}$ ．
$\therefore \mathrm{x} \neq \mathrm{k} \pi+\frac{\pi}{2}$ ，即函数的定义域为 $\left\{\mathrm{x} \left\lvert\, \mathrm{x} \neq \mathrm{k} \pi+\frac{\pi}{2}\right., \mathrm{k} \in \mathrm{Z}\right\}$ ，
则 $f(x)=4 \tan x \cos x \cdot\left(\frac{1}{2} \cos x+\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x\right)-\sqrt{3}$
$=4 \sin x\left(\frac{1}{2} \cos x+\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x\right)-\sqrt{3}$
$=2 \sin x \cos x+2 \sqrt{3} \sin ^{2} x-\sqrt{3}$
$=\sin 2 \mathrm{x}+\sqrt{3}(1-\cos 2 \mathrm{x})-\sqrt{3}$
$=\sin 2 \mathrm{x}-\sqrt{3} \cos 2 \mathrm{x}$
$=2 \sin \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)$ ，
则函数的周期 $\mathrm{T}=\frac{2 \pi}{2}=\pi ;$
②由 $2 \mathrm{k} \pi-\frac{\pi}{2} \leqslant 2 \mathrm{x}-\frac{\pi}{3} \leqslant 2 \mathrm{k} \pi+\frac{\pi}{2}, \mathrm{k} \in \mathrm{Z}$ ，
得 $k \pi-\frac{\pi}{12} \leqslant x \leqslant k \pi+\frac{5 \pi}{12}, k \in Z$ ，即函数的增区间为 $\left[k \pi-\frac{\pi}{12}, k \pi+\frac{5 \pi}{12}\right], k \in Z$ ，
当 $\mathrm{k}=0$ 时，增区间为 $\left[-\frac{\pi}{12}, \frac{5 \pi}{12}\right], \mathrm{k} \in Z$ ，
$\because \mathrm{x} \in\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right], \quad \therefore$ 此时 $\mathrm{x} \in\left[-\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{4}\right]$ ，
由 $2 k \pi+\frac{\pi}{2} \leqslant 2 x-\frac{\pi}{3} \leqslant 2 k \pi+\frac{3 \pi}{2}, k \in Z$ ，
得 $\mathrm{k} \pi+\frac{5 \pi}{12} \leqslant \mathrm{x} \leqslant \mathrm{k} \pi+\frac{11 \pi}{12}, \mathrm{k} \in \mathrm{Z}$ ，即函数的减区间为 $\left[\mathrm{k} \pi+\frac{5 \pi}{12}, \mathrm{k} \pi+\frac{11 \pi}{12}\right], \mathrm{k} \in \mathrm{Z}$ ，
当 $\mathrm{k}=-1$ 时，减区间为 $\left[-\frac{7 \pi}{12},-\frac{\pi}{12}\right], \mathrm{k} \in \mathrm{Z}$ ，
$\because \mathrm{x} \in\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right], \quad \therefore$ 此时 $\mathrm{x} \in\left[-\frac{\pi}{4}, \quad-\frac{\pi}{12}\right]$ ，
即在区间 $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$ 上，函数的减区间为 $\in\left[-\frac{\pi}{4},-\frac{\pi}{12}\right]$ ，增区间为 $\left[-\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{4}\right]$ ．

【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的诱导公式，两角和差的余弦公式以及辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．