2014_新课标 II 卷 (2014·文)
22．（10分）如图， P 是 $\odot \mathrm{O}$ 外一点， PA 是切线， A 为切点，割线 PBC 与 $\odot \mathrm{O}$ 相交
于点 $\mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{PC}=2 \mathrm{PA}, \mathrm{D}$ 为 PC 的中点， AD 的延长线交 $\odot \mathrm{O}$ 于点 E ，证明：
（ I ） $\mathrm{BE}=\mathrm{EC}$ ；
（ II ）$A D \cdot D E=2 P B^{2}$ ．
【考点】N4：相似三角形的判定；NC：与圆有关的比例线段．
【专题】17：选作题；5Q：立体几何．
【分析】（I）连接 $O E, O A$ ，证明 $O E \perp B C$ ，可得 $E$ 是 $\widehat{B C}$ 的中点，从而 $B E=E C$ ；
（II）利用切割线定理证明 $P D=2 P B$ ，$P B=B D$ ，结合相交弦定理可得 $A D \bullet D E=2 P B^{2}$
【解答】证明：（ I ）连接 $O E$ ，$O A$ ，则 $\angle O A E=\angle O E A, \angle O A P=90^{\circ}$ ，
$\because P C=2 P A, ~ D$ 为 $P C$ 的中点，
$\therefore \mathrm{PA}=\mathrm{PD}$ ，
$\therefore \angle \mathrm{PAD}=\angle \mathrm{PDA}$ ，
$\because \angle \mathrm{PDA}=\angle \mathrm{CDE}$ ，
$\therefore \angle \mathrm{OEA}+\angle \mathrm{CDE}=\angle \mathrm{OAE}+\angle \mathrm{PAD}=90^{\circ}$ ，
$\therefore \mathrm{OE} \perp \mathrm{BC}$ ，
$\therefore \mathrm{E}$ 是 $\widehat{\mathrm{BC}}$ 的中点，
$\therefore \mathrm{BE}=\mathrm{EC}$ ；
（II）$\because \mathrm{PA}$ 是切线， A 为切点，割线 PBC 与 $\odot \mathrm{O}$ 相交于点 $\mathrm{B}, \mathrm{C}$ ，
$\therefore \mathrm{PA}^{2}=\mathrm{PB} \bullet \mathrm{PC}$ ，
$\because \mathrm{PC}=2 \mathrm{PA}$,
$\therefore \mathrm{PA}=2 \mathrm{~PB}$ ，
$\therefore \mathrm{PD}=2 \mathrm{~PB}$ ，
$\therefore \mathrm{PB}=\mathrm{BD}$ ，
$\therefore \mathrm{BD} \cdot \mathrm{DC}=\mathrm{PB} \cdot 2 \mathrm{~PB}$ ，
$\because \mathrm{AD} \bullet \mathrm{DE}=\mathrm{BD} \bullet \mathrm{DC}$,
$\therefore A D \cdot D E=2 P B^{2}$ ．
【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
## 四、选修4－4，坐标系与参数方程