推理与证明　·　历年高考数学真题与解析

3．（5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为

15．（几何证明选讲选作题）如图1，已知 $A B$ 是圆 $O$ 的直径，$A B=4, E C$ 是圆 $O$ 的切线，切点为 C，
$\mathrm{BC}=1$ ，过圆心 O 做 BC 的平行线，分别交 EC 和 AC 于点 D 和点 P ，则 $\mathrm{OD}=$ $\_\_\_\_$。

15．（选修 4－1：几何证明选讲）

如图，$P A$ 是圆的切线，$A$ 为切点，$P B C$ 是圆的割线，且 $B C=3 P B$ ，则 $\frac{A B}{A C}=$ $\_\_\_\_$ ．

第 15 题图

22．（10分）如图， P 是 $\odot \mathrm{O}$ 外一点， PA 是切线， A 为切点，割线 PBC 与 $\odot \mathrm{O}$ 相交

于点 $\mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{PC}=2 \mathrm{PA}, \mathrm{D}$ 为 PC 的中点， AD 的延长线交 $\odot \mathrm{O}$ 于点 E ，证明：
（ I ） $\mathrm{BE}=\mathrm{EC}$ ；
（ II ）$A D \cdot D E=2 P B^{2}$ ．

22．（10分）如图， P 是 $\odot \mathrm{O}$ 外一点， PA 是切线， A 为切点，割线 PBC 与 $\odot \mathrm{O}$ 相交于点 $\mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{PC}=2 \mathrm{PA}, \mathrm{D}$ 为 PC 的中点， AD 的延长线交 $\odot \mathrm{O}$ 于点 E ，证明：
（ I ） $\mathrm{BE}=\mathrm{EC}$ ；
（ II ）$A D \cdot D E=2 P B^{2}$ ．

8．在平面上，若两个正三角形的边长的比为 $1: 2$ ，则它们的面积比为 $1: 4$ ，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为 $1: 2$ ，则它们的体积比为 $\_\_\_\_$。
且在第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2 ，则点 P 的坐标为 $\_\_\_\_$。

20．（本小题共13分）
对于每项均是正整数的数列 $A: a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ ，定义变换 $T_{1}, T_{1}$ 将数列 $A$ 变换成数列 $T_{1}(A): n, \quad a_{1}-1, \quad a_{2}-1, \cdots, \quad a_{n}-1$.

对于每项均是非负整数的数列 $B: b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{m}$ ，定义变换 $T_{2}, T_{2}$ 将数列 $B$ 各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列 $T_{2}(B)$ ；

又定义 $S(B)=2\left(b_{1}+2 b_{2}+\cdots+m b_{m}\right)+b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\cdots+b_{m}^{2}$ ．

设 $A_{0}$ 是每项均为正整数的有穷数列，令 $A_{k+1}=T_{2}\left(T_{1}\left(A_{k}\right)\right)(k=0,1,2, \cdots)$ ．
（I）如果数列 $A_{0}$ 为 $5,3,2$ ，写出数列 $A_{1}, A_{2}$ ；
（II）对于每项均是正整数的有穷数列 $A$ ，证明 $S\left(T_{1}(A)\right)=S(A)$ ；
（III）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列 $A_{0}$ ，存在正整数 $K$ ，当 $k \geqslant K$时，$S\left(A_{k+1}\right)=S\left(A_{k}\right)$ ．