甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上…——2024 高考数学第 14 题答案解析

【答案】 $\frac{1}{2} \# \# 0.5$

## 【解析】

【分析】将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可．
【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为 $X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}$ ，四轮的总得分为 $X$ ．
对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在该轮获胜的概率 $P\left(X_{k}=1\right)=\frac{6}{4 \times 4}=\frac{3}{8}$ ，所以 $E\left(X_{k}\right)=\frac{3}{8}(k=1,2,3,4)$ ．

从而 $E(X)=E\left(X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4}\right)=\sum_{k=1}^{4} E\left(X_{k}\right)=\sum_{k=1}^{4} \frac{3}{8}=\frac{3}{2}$ ．
记 $p_{k}=P(X=k)(k=0,1,2,3)$ ．
如果甲得 0 分，则组合方式是唯一的：必定是甲出 $1,3,5,7$ 分别对应乙出 $2,4,6,8$ ，所以
$p_{0}=\frac{1}{\mathrm{~A}_{4}^{4}}=\frac{1}{24} ;$
如果甲得 3 分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出 $1,3,5,7$ 分别对应乙出 $8,2,4,6$ ，所以 $p_{3}=\frac{1}{\mathrm{~A}_{4}^{4}}=\frac{1}{24}$.

而 $X$ 的所有可能取值是 $0,1,2,3$ ，故 $p_{0}+p_{1}+p_{2}+p_{3}=1, p_{1}+2 p_{2}+3 p_{3}=E(X)=\frac{3}{2}$ ．
所以 $p_{1}+p_{2}+\frac{1}{12}=1, p_{1}+2 p_{2}+\frac{1}{8}=\frac{3}{2}$ ，两式相减即得 $p_{2}+\frac{1}{24}=\frac{1}{2}$ ，故 $p_{2}+p_{3}=\frac{1}{2}$ ．
所以甲的总得分不小于 2 的概率为 $p_{2}+p_{3}=\frac{1}{2}$ ．
故答案为：$\frac{1}{2}$ ．
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将问题转化为随机变量问题，利用期望的可加性得到等量关系，从而避免繁琐的列举．