离散型随机变量及其分布列　·　历年高考数学真题与解析

14．甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字 $1,3,5,7$ ，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得 1 分，数字小的人得 0 分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）。则四轮比赛后，甲的总得分不小于 2 的概率为 $\_\_\_\_$。

19．甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得 10 分，负方得 0 分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为 0.5 ， $0.4,0.8$ ，各项目的比赛结果相互独立．
（1）求甲学校获得冠军的概率；
（2）用 $X$ 表示乙学校的总得分，求 $X$ 的分布列与期望．

17．（13分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一。为了解某校学生上个月 $A, B$ 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了 100 人，发现样本中 $A, B$ 两种支付方式都不使用的有 5 人，样本中仅使用 $A$ 和仅使用 $B$ 的学生的支付金额分布情况如下：

（I）从全校学生中随机抽取 1 人，估计该学生上个月 $A, B$ 两种支付方式都使用的概率； （II）从样本仅使用 $A$ 和仅使用 $B$ 的学生中各随机抽取 1 人，以 $X$ 表示这 2 人中上个月支付金额大于 1000 元的人数，求 $X$ 的分布列和数学期望；

（III）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用 $A$ 的学生中，随机抽查 3 人，发现他们本月的支付金额都大于 2000 元。根据抽查结果，能否认为样本仅使用 $A$ 的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化？说明理由．

21．为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药。一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验。当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效。为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得 -1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得 -1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分．甲、乙两种药的治愈率分别记为 $\alpha$ 和 $\beta$ ，一轮试验中甲药的得分记为 $X$ ．
（1）求 $X$ 的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分，$p_{i}(i=0,1, \cdots, 8)$ 表示＂甲药的累计得分为 $i$ 时

，最终认为甲药比乙药更有效＂的概率，则 $p_{0}=0, p_{8}=1, p_{i}=a p_{i-1}+b p_{i}+c p_{i+1} (i=1,2, \cdots, 7)$ ，其中 $a=P(X=-1), b=P(X=0), c=P(X=1)$ 。假设 $\alpha=0.5$ ， $\beta=0.8$.
（i）证明：$\left\{p_{i+1}-p_{i}\right\}(i=0,1,2, \cdots, 7)$ 为等比数列；
（ii）求 $p_{4}$ ，并根据 $p_{4}$ 的值解释这种试验方案的合理性。

23．（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 $x O y$ 中，设点集 $A_{n}=\{(0,0),(1,0),(2,0), \ldots,(n, 0)\}$ ， $B_{n}=\{(0,1),(n, 1)\}, C_{n}=\{(0,2),(1,2),(2,2), \cdots,(n, 2)\}, n \in \mathbf{N}^{*}$.

令 $M_{n}=A_{n} \cup B_{n} \cup C_{n}$ 。从集合 $M_{n}$ 中任取两个不同的点，用随机变量 $X$ 表示它们之间的距离．
（1）当 $n=1$ 时，求 $X$ 的概率分布；
（2）对给定的正整数 $n(n \geq 3)$ ，求概率 $P(X \leq n)$（用 $n$ 表示）．

# 2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） <br> 数学 I <br> 注意事项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。本卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4．作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式：
样本数据 $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ 的方差 $s^{2}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}$ ，其中 $\bar{x}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}$ 。
柱体的体积 $V=S h$ ，其中 $S$ 是柱体的底面积，$h$ 是柱体的高．
锥体的体积 $V=\frac{1}{3} S h$ ，其中 $S$ 是锥体的底面积，$h$ 是锥体的高。

17．（13分）为了研究一种新药的疗效，选 100 名患者随机分成两组，每组各 50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标 x和 y 的数据，并制成如图，其中＂＊＂表示服药者，＂＋＂表示未服药者．
（1）从服药的 50 名患者中随机选出一人，求此人指标 y 的值小于 60 的概率；
（2）从图中 A，B，C，D 四人中随机选出两人，记 $\xi$ 为选出的两人中指标 x 的值大于 1.7 的人数，求 $\xi$ 的分布列和数学期望 $E(\xi)$ ；
（3）试判断这 100 名患者中服药者指标 y 数据的方差与未服药者指标 y 数据的方差的大小。（只需写出结论）

18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完。根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：${ }^{\circ} \mathrm{C}$ ）有关。如果最高气温不低于 25 ，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间［ 20,25 ），需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20 ，需求量为 200 瓶。为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表 ：

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 $Y$（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，写出 Y 的所有可能值，并估计 Y 大于零的概率。

19．（12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元 ．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：

以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数， n 表示购买 2 台机器的

同时购买的易损零件数．

（I）求X的分布列；
（II）若要求 $\mathrm{P}(\mathrm{X} \leq \mathrm{n}) \geq 0.5$ ，确定 n 的最小值；
（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 $n=19$ 与 $n=20$ 之中选其一，应选用哪个？

19．（12分）（2016－山东）甲、乙两人组成＂星队＂参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则＂星队＂得3分；如果只有一个人猜对，则＂星队＂得 1 分；如果两人都没猜对，则＂星队＂得 0 分。已知甲每轮猜对的概率是 $\frac{3}{4}$ ，乙每轮猜对的概率是 $\frac{2}{3}$ ；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响。各轮结果亦互不影响。假设＂星队＂参加两轮活动，求：
（I）＂星队＂至少猜对 3 个成语的概率；
（II）＂星队＂两轮得分之和为 X 的分布列和数学期望 EX。

17．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得 10 分，出现两次音乐获得 20 分，出现三次音乐获得 100 分，没有出现音乐则扣除 200 分（即获得 -200 分）。设每次击鼓出现音乐的概率为 $\frac{1}{2}$，且各次击鼓出现音乐相互独立．
（1）设每盘游戏获得的分数为 $X$，求 $X$ 的分布列；
（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少。的原因。

19．（本小题满分 12 分）
在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为 1000 元，此作物的市场价格和这块地上
的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：

（1）设 $X$ 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润，求 $X$ 的分布列；
（2）若在这块地上连续 3 季种植此作物，求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的概率．

18、（本小题满分 12 分）
某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量 $x$ 在 $1,2,3, \cdots, 24$ 这 24 个整数中等可能随机产生。
（I）分别求出按程序框图正确编程运行时输出 $y$ 的值为 $i$ 的概率 $P_{i}(i=1,2,3)$；

（II）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行 $n$ 次后，统计记录了输出 $y$的值为 $i(i=1,2,3)$ 的频数。以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据。

当 $n=2100$ 时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出 $y$ 的值为 $i(i=1,2,3)$ 的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大。

18．（本小题满分 12 分）
某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量 $x$ 在 $1,2,3, \cdots, 24$ 这 24 个整数中等可能随机产生．
（I）分别求出按程序框图正确编程运行时输出 $y$ 的值为 $i$ 的概率 $P_{i}(i=1,2,3)$；

（II）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行 $n$ 次后，统计记录了输出 $y$ 的值为 $i(i=1,2,3)$ 的频数。以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据。

甲的频数统计表（部分）

乙的频数统计表（部分）

当 $n=2100$ 时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出 $y$ 的值为 $i(i=1,2,3)$ 的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；
（III）按程序框图正确编写的程序运行 3 次，求输出 $y$ 的值为 2 的次数 $\xi$ 的分布列及数学期望。

（21）（本小题满分 13 分）
某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有 $n$ 位学生，每次活动均需该系 $k$ 位学生参加（ $n$ 和 $k$ 都是固定的正整数）。假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系 $k$ 位学生，且所发信息都能收到。记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为 $x$
（I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；
（II）求使 $P(X=m)$ 取得最大值的整数 $m$．

15、（2011•浙江）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为 $\frac{2}{3}$ ，得到乙、丙公司面试的概率均为 P ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记 x 为该毕业生得到面试的公司个数．若 $P(X=0)=\frac{1}{12}$ ，则随机变量 $X$ 的数学期望 $E(X)=$ $\_\_\_\_$ $\frac{5}{3}$ ． ．

考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列。
专题：计算题。
分析：根据该毕业生得到面试的机会为 0 时的概率，做出得到乙、丙公司面试的概率，根据题意得到 x 的可能取值，结合变量对应的事件写出概率和做出期望。

17．（13分）（2011 •北京）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。

（I）如果 $\mathrm{X}=8$ ，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；
（II）如果 $\mathrm{X}=9$ ，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数 Y 的分布列和数学期望。
（注：方差 $s^{2}=\frac{1}{n}\left[\left(x_{1}-\bar{x}\right)^{2}+\left(x_{2}-\bar{x}\right)^{2}+\cdots+\left(x_{n}-\bar{x}\right)^{2}\right]$ ，其中 $\bar{x}$ 为 $x_{1}, x_{2}$ ，... $\mathrm{x}_{\mathrm{n}}$ 的平均数）

## 甲组

## 乙组

18．（12分）（2011 •山东）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对 A ，乙对 B ，丙对 C 各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为 $0.6,0.5,0.5$ ，假设各盘比赛结果相互独立。
（I）求红队至少两名队员获胜的概率；
（II）用 $\xi$ 表示红队队员获胜的总盘数，求 $\xi$ 的分布列和数学期望 $\mathrm{E} \xi$ 。

（18）．（本小题满分 12 分）某射手每次射击击中目标的概率是 $\frac{2}{3}$ ，且各次射击的结果互不影响。
（I）假设这名射手射击 5 次，求恰有 2 次击中目标的概率
（II）假设这名射手射击 5 次，求有 3 次连续击中目标。另外 2 次未击中目标的概率；
（III）假设这名射手射击 3 次，每次射击，击中目标得 1 分，未击中目标得 0 分，在 3次射击中，若有 2 次连续击中，而另外 1 次未击中，则额外加 1 分；若 3 次全击中，则额外加 3 分，记 $\xi$ 为射手射击 3 次后的总的分数，求 $\xi$ 的分布列。

18．（本小题满分 12 分）
某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机 （即等可能）为你打开一个通道，若是 1 号通道，则需要 1 小时走出迷宫；若是 2 号、 3 号通道，则分别需要 2 小时、 3 小时返回智能门。再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走完迷宫为止。令 $\xi$ 表示走出迷宫所需的时间。
（1）求 $\xi$ 的分布列；
（2）求 $\xi$ 的数学期望。

18．（本小题满分 12 分）
某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审。假设评审结果为＂支持＂或＂不支持＂的概率都是 $\frac{1}{2}$ 。若某人获得两个＂支持＂，则给予 10 万元的创业资助；若只获得一个＂支持＂，则给予 5 万元的资助；若未获得＂支持＂，则不予资助，令 $\xi$ 表示该公司的资助总额．
（1）写出 $\xi$ 的分布列；
（2）求数学期望 $E \xi$ ．

18．（本小题满分 12 分）
为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为 2000 万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司组织了一个有 36 名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中 $\frac{3}{4}$ 是省外游客，其余是省内游客。在省外游客中有 $\frac{1}{3}$ 持金卡，在省内游客中有 $\frac{2}{3}$ 持银卡。
（I）在该团中随机采访 3 名游客，求恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率；
（II）在该团的省内游客中随机采访 3 名游客，设其中持银卡人数为随机变量 $\xi$ ，求 $\xi$ 的分布列及数学期望 $E \xi$ 。

## 19 （本小题满分 12 分）

如图，正方形 $A B C D$ 所在平面与平面四边形 $A B E F$ 所在平面互相垂直，$\triangle A B E$ 是等腰直角三角形，$A B=A E, F A=F E, \angle A E F=45^{\circ}$
（I）求证：$E F \perp$ 平面 $B C E$ ；
（II）设线段 $C D$ 的中点为 $P$ ，在直线 $A E$ 上是否存在一点 $M$ ，使得 $P M \|$ 平面 $B C E$ ？若存在，请指出点 $M$ 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；
（III）求二面角 $F-B D-A$ 的大小。

20 （本小题满分 12 分）
已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b}=1(a>b>0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，离心率 $e=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，右准线方程为 $x=2$ 。
（I）求椭圆的标准方程；
（II）过点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与该随圆交于 $M, N$ 两点，且 $\left|\overrightarrow{F_{2} M}+\overrightarrow{F_{2} N}\right|=\frac{2 \sqrt{26}}{3}$ ，求直线 $l$ 的方程。

20．（12分）某车间甲组有 10 名工人，其中有 4 名女工人；乙组有 5 名工人，其中有 3 名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取 3 名工人进行技术考核。
（I）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（II）求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率；
（III）记 $\xi$ 表示抽取的 3 名工人中男工人数，求 $\xi$ 的分布列及数学期望。

16．（本小题满分 12 分）
甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每人面试合格的概率都是 $\frac{1}{2}$ ，且面试是否合格互不影响。求：
（I）至少有 1 人面试合格的概率；
（II）签约人数 $\xi$ 的分布列和数学期望．

18．（12 分）（2008 • 四川）一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：A 类、B 类、C类．检验员定时从该生产线上任取 2 件产品进行一次抽检，若发现其中含有 C 类产品或 2件都是 B 类产品，就需要调整设备，否则不需要调整。已知该生产线上生产的每件产品为 A类品， B 类品和 C 类品的概率分别为 $0.9,0.05$ 和 0.05 ，且各件产品的质量情况互不影响。
（I）求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；
（II）若检验员一天抽检 3 次，以 $\xi$ 表示一天中需要调整设备的次数，求 $\xi$ 的分布列和数学期望。

18．（本小题满分 12 分）
因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果树的方案，每种方

案都需分两年实施。若实施方案一，预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的 1.0 倍、 0.9倍、 0.8 倍的概率分别是 $0.3 , 0.3 , 0.4$ ；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的 1.25 倍、 1 .0 倍的概率分别是 $0.5 , 0.5$ 。若实施方案二，预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的 1.2 倍、 1.0 倍、 0.8 倍的概率分别是 $0.2 , 0.3 , 0.5$ ；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的 1.2倍、 1.0 倍的概率分别是 $0.4 , 0.6$ ．实施每种方案第一年与第二年相互独立，令 $\xi_{i}(i=1,2)$表示方案 $i$ 实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数。
（1）写出 $\xi_{1} , \xi_{2}$ 的分布列；
（2）实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？
（3）不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为 10 万元、 15 万元、 20 万元。问实施哪种方案的平均利润更大？