（本小题满分 12 分） 某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个…——2010 高考数学第 18 题答案解析

【解答】
（本小题满分 12 分）

某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机 （即等可能）为你打开一个通道，若是 1 号通道，则需要 1 小时走出迷宫；若是 2 号、 3 号通道，则分别需要 2 小时、 3 小时返回智能门。再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走完迷宫为止。令 $\xi$ 表示走出迷宫所需的时间。
（3）求 $\xi$ 的分布列；
（4）求 $\xi$ 的数学期望。
【解析】考查数学知识的实际背景，重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概率、随机事件的数学特征和对思维能力、运算能力、实践能力的考查。
（1）必须要走到 1 号门才能走出，$\xi$ 可能的取值为 $1,3,4,6$

$$ P(\xi=1)=\frac{1}{3}, \quad P(\xi=3)=\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{6}, \quad P(\xi=4)=\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{6}, $$

$P(\xi=6)=A_{2}^{2}\left(\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}\right) \times 1=\frac{1}{3}$
分布列为：

（2）$E \xi=1 \times \frac{1}{3}+3 \times \frac{1}{6}+4 \times \frac{1}{6}+6 \times \frac{1}{3}=\frac{7}{2}$ 小时