（本小题满分 12 分） 甲、乙、丙三人参加了一家公司的招…——2008 高考数学第 15 题答案解析

【解答】
（本小题满分 12 分）
甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每人面试合格的概率都是 $\frac{1}{2}$ ，且面试是否合格互不影响．求：

（I）至少有 1 人面试合格的概率；
（II）签约人数 $\xi$ 的分布列和数学期望．
解：用 $A, B, C$ 分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知 $A, B, C$ 相互独立，且 $P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{2}$ ．
（I）至少有 1 人面试合格的概率是

$$ 1-P(\bar{A} \bar{B} \bar{C})=1-P(\bar{A}) P(\bar{B}) P(\bar{C})=1-\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=\frac{7}{8} $$

（II）$\xi$ 的可能取值为 $0,1,2,3$ ．

$$ \begin{aligned} P(\xi & =0)=P(\bar{A} B \bar{C})+P(\bar{A} \bar{B} C)+P(\bar{A} \bar{B} \bar{C}) \\ & =P(\bar{A}) P(B) P(\bar{C})+P(\bar{A}) P(\bar{B}) P(C)+P(\bar{A}) P(\bar{B}) P(\bar{C}) \\ & =\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=\frac{3}{8} . \\ P(\xi & =1)=P(A \bar{B} C)+P(A B \bar{C})+P(A \bar{B} \bar{C}) \\ & =P(A) P(\bar{B}) P(C)+P(A) P(B) P(\bar{C})+P(A) P(\bar{B}) P(\bar{C}) \\ & =\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=\frac{3}{8} . \\ P(\xi & =2)=P(\bar{A} B C)=P(\bar{A}) P(B) P(C)=\frac{1}{8} . \\ P(\xi & =3)=P(A B C)=P(A) P(B) P(C)=\frac{1}{8} . \end{aligned} $$

所以，$\xi$ 的分布列是

$\xi$ 的期望 $E \xi=0 \times \frac{3}{8}+1 \times \frac{3}{8}+2 \times \frac{1}{8}+3 \times \frac{1}{8}=1$ ．