在四边形 A B C D 中， A D / / B C,…——2019 高考数学第 14 题答案解析

【解答】
在四边形 $A B C D$ 中，$A D / / B C, A B=2 \sqrt{3}, A D=5, \angle A=30^{\circ}$ ，点 $E$ 在线段 $C B$ 的延长线上，且 $A E=B E$ ，则 $\overrightarrow{B D} \cdot \overrightarrow{A E}=$

【答案】 -1 ．
【解析】
【分析】
可利用向量的线性运算，也可以建立坐标系利用向量的坐标运算求解。
【详解】详解：解法一：如图，过点 $B$ 作 $A E$ 的平行线交 $A D$ 于 $F$ ，
因为 $A E=B E$ ，故四边形 $A E B F$ 为菱形。
因为 $\angle B A D=30^{\circ}, A B=2 \sqrt{3}$ ，所以 $A F=2$ ，即 $\overrightarrow{A F}=\frac{2}{5} \overrightarrow{A D}$ ．
因为 $\overrightarrow{A E}=\overrightarrow{F B}=\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A F}=\overrightarrow{A B}-\frac{2}{5} \overrightarrow{A D}$ ，
所以 $\overrightarrow{B D} \cdot \overrightarrow{A E}=(\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{A B}) \cdot\left(\overrightarrow{A B}-\frac{2}{5} \overrightarrow{A D}\right)=\frac{7}{5} \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A D}-\overrightarrow{A B}^{2}-\frac{2}{5} \overrightarrow{A D}^{2}=\frac{7}{5} \times 2 \sqrt{3} \times 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2}-12-10=-1$ ．

解法二：建立如图所示的直角坐标系，则 $B(2 \sqrt{3}, 0), D\left(\frac{5 \sqrt{3}}{2}, \frac{5}{2}\right)$ 。
因为 $A D / / B C, \angle B A D=30^{\circ}$ ，所以 $\angle C B E=30^{\circ}$ ，
因为 $A E=B E$ ，所以 $\angle B A E=30^{\circ}$ ，
所以直线 $B E$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，其方程为 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}(x-2 \sqrt{3})$ ，

直线 $A E$ 的斜率为 $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，其方程为 $y=-\frac{\sqrt{3}}{3} x$ 。
由 $\left\{\begin{array}{l}y=\frac{\sqrt{3}}{3}(x-2 \sqrt{3}) \\ y=-\frac{\sqrt{3}}{3} x\end{array}\right.$ 得 $x=\sqrt{3}, y=-1$ ，
所以 $E(\sqrt{3},-1)$ 。

所以 $\overrightarrow{B D} \cdot \overrightarrow{A E}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{5}{2}\right) \cdot(\sqrt{3},-1)=-1$ 。

【点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便。

## 三．