（本小题满分 12 分） 已知点 F 为抛物线 E: y^…——2015 高考数学第 19 题答案解析

【答案】（ I ）$y^{2}=4 x$ ；（II）详见解析．

## 【解析】

解法一：（I）由抛物线的定义得 $|A F|=2+\frac{p}{2}$ ．
因为 $|\mathrm{AF}|=3$ ，即 $2+\frac{p}{2}=3$ ，解得 $p=2$ ，所以拋物线 E 的方程为 $y^{2}=4 x$ ．
（II）因为点 $\mathrm{A}(2, m)$ 在抛物线 $\mathrm{E}: y^{2}=4 x$ 上，
所以，$m= \pm 2 \sqrt{2}$ ，由抛物线的对称性，不妨设 $\mathrm{A}(2,2 \sqrt{2})$ ．
由 $\mathrm{A}(2,2 \sqrt{2}), \mathrm{F}(1,0)$ 可得直线 AF 的方程为 $y=2 \sqrt{2}(x-1)$ ．

由 $\left\{\begin{array}{l}y=2 \sqrt{2}(x-1) \\ y^{2}=4 x\end{array}\right.$ ，得 $2 x^{2}-5 x+2=0$ ，
解得 $x=2$ 或 $x=\frac{1}{2}$ ，从而 $\mathrm{B}\left(\frac{1}{2},-\sqrt{2}\right)$ 。
． $\mathrm{G}(-1,0)$ ，
所以 $k_{\mathrm{GA}}=\frac{2 \sqrt{2}-0}{2-(-1)}=\frac{2 \sqrt{2}}{3}, k_{\mathrm{GB}}=\frac{-\sqrt{2}-0}{\frac{1}{2}-(-1)}=-\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，
所以 $k_{\mathrm{GA}}+k_{\mathrm{GB}}=0$ ，从而 $\angle \mathrm{AGF}=\angle \mathrm{BGF}$ ，这表明点 F 到直线 $\mathrm{GA}, \mathrm{GB}$ 的距离相等，故以 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆必与直线 GB 相切．

解法二：（I）同解法一。
（II）设以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆的半径为 $r$ ．
因为点 $\mathrm{A}(2, m)$ 在抛物线 $\mathrm{E}: y^{2}=4 x$ 上，
所以 $m= \pm 2 \sqrt{2}$ ，由抛物线的对称性，不妨设 $\mathrm{A}(2,2 \sqrt{2})$ ．
由 $\mathrm{A}(2,2 \sqrt{2}), \mathrm{F}(1,0)$ 可得直线 AF 的方程为 $y=2 \sqrt{2}(x-1)$ ．
由 $\left\{\begin{array}{l}y=2 \sqrt{2}(x-1) \\ y^{2}=4 x\end{array}\right.$ ，得 $2 x^{2}-5 x+2=0$ ，
解得 $x=2$ 或 $x=\frac{1}{2}$ ，从而 $\mathrm{B}\left(\frac{1}{2},-\sqrt{2}\right)$ 。
又 $\mathrm{G}(-1,0)$ ，故直线 GA 的方程为 $2 \sqrt{2} x-3 y+2 \sqrt{2}=0$ ，
从而 $r=\frac{|2 \sqrt{2}+2 \sqrt{2}|}{\sqrt{8+9}}=\frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{17}}$ ．
又直线 GB 的方程为 $2 \sqrt{2} x+3 y+2 \sqrt{2}=0$ ，
所以点 F 到直线 GB 的距离 $d=\frac{|2 \sqrt{2}+2 \sqrt{2}|}{\sqrt{8+9}}=\frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{17}}=r$ ．
这表明以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆必与直线 GB 相切．

【考点定位】1、抛物线标准方程；2、直线和圆的位置关系．
【名师点睛】利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点距离和到准线距离进行转化，从而简化问题的求解过程，在解抛物线问题的同时，一定要善于利用其定义解题。直线和圆的位置关系往往利用几何判断简洁，即圆心到直线的距离与圆的半径比较；若由图形观察，结合平面几何知识，说明 $\angle \mathrm{AGF}=\angle \mathrm{BGF}$ 即可，这样可以把问题转化为判断 $k_{\mathrm{GA}}+k_{\mathrm{GB}}=0$ ，高效解题的过程就是优化转化的过程．