2014_退役省自主命题 (2014·文)
19．设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d$，点 $\left(a_{n}, b_{n}\right)$ 在函数 $f(x)=2^{x}$ 的图象上 $\left(n \in N^{*}\right)$．
（1）证明：数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是等比数列；
（2）若 $a_{1}=1$，函数 $f(x)$ 的图象在点 $\left(a_{2}, b_{2}\right)$ 处的切线在 $x$ 轴上的截距为 $2-\frac{1}{\ln 2}$，求数列 $\left\{a_{n} b_{n}^{2}\right\}$的前 $n$ 项和 $S_{n}$．
【答案】（1）详见解析；（2）$T_{n}=\frac{(3 n-1) 4^{n+1}+4}{9}$．
## 【解析】
试题分析：据题设可得，$b_{n}=2^{a_{n}}$。①当 $n \geq 1$ 时，将 $b_{n+1}, b_{n}$ 相除，可得商为常数，从而证得其为等比数列。（2）首先可求出 $f(x)=2^{x}$ 在 $\left(a_{2}, b_{2}\right)$ 处的切线为 $y-b_{2}=2^{a_{2}} \ln 2\left(x-a_{2}\right)$，今 $y=0$ 得 $-b_{2}=\left(2^{a_{2}} \ln 2\right) \times\left(x-a_{2}\right), x=a_{2}-\frac{1}{\ln 2}, \therefore a_{2}=2$，由此可求出 $a_{n}=n, b_{n}=2^{n}$．所以 $a_{n} b_{n}^{2}=n \cdot 4^{n}$，这个数列用错位相消法可得前 $n$ 项和 $T_{n}$．
试题解析：（1）由已知，$b_{n}=2^{a_{n}}>0$．．
当 $n \geq 1$ 时,$\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=2^{a_{n+1}-a_{n}}=2^{d}$．
所以，数列是首项为 $2^{q}$，公比为 $2^{d}$ 的等比数列。
（2）$f(x)=2^{x}$ 求导得 $f^{\prime}(x)=2^{x} \ln 2$，所以 $f(x)=2^{x}$ 在 $\left(a_{2}, b_{2}\right)$ 处的切线为 $y-b_{2}=2^{a_{2}} \ln 2\left(x-a_{2}\right)$，今 $y=0$ 得 $-b_{2}=\left(2^{a_{2}} \ln 2\right) \times\left(x-a_{2}\right), x=a_{2}-\frac{1}{\ln 2}, \therefore a_{2}=2$，
所以 $d=2-1=1, \therefore a_{n}=n, b_{n}=2^{n}$．所以 $a_{n} b_{n}^{2}=n \cdot 4^{n}$，
其前 $n$ 项和：$T_{n}=1 \cdot 4+2 \cdot 4^{2}+3 \cdot 4^{3}+\cdots+(n-1) \cdot 4^{n-1}+n \cdot 4^{n}$
两边乘以 4 得： $4 T_{n}=1 \cdot 4^{2}+2 \cdot 4^{3}+3 \cdot 4^{4}+\cdots+(n-1) \cdot 4^{n}+n \cdot 4^{n+1}$
①－②得：$T_{n}-4 T_{n}=4+4^{2}+4^{3}+\cdots+4^{n}-n \cdot 4^{n+1}=\frac{4^{n+1}-4}{3}-n \cdot 4^{n+1}$，所以 $T_{n}=\frac{(3 n-1) 4^{n+1}+4}{9}$．
【考点定位】等差数列与等比数列及其前前 $n$ 项和，导数的几何意义．