已知数列 a_ n 满足 a_ 1 =1, a_ n+1…——2022 高考数学第 10 题答案解析

【答案】B
【解析】
【分析】先通过递推关系式确定 $\left\{a_{n}\right\}$ 除去 $a_{1}$ ，其他项都在 $(0,1)$ 范围内，再利用递推公式变形得到

$\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_{n}}=\frac{1}{3-a_{n}}>\frac{1}{3}$ ，累加可求出 $\frac{1}{a_{n}}>\frac{1}{3}(n+2)$ ，得出 $100 a_{100}<3$ ，再利用
$\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_{n}}=\frac{1}{3-a_{n}}<\frac{1}{3-\frac{3}{n+2}}=\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)$ ，累加可求出 $\frac{1}{a_{n}}-1<\frac{1}{3}(n-1)+\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}\right)$ ，再次
放缩可得出 $100 a_{100}>\frac{5}{2}$ ．
【详解】 $\because a_{1}=1$ ，易得 $a_{2}=\frac{2}{3} \in(0,1)$ ，依次类推可得 $a_{n} \in(0,1)$
由题意，$a_{n+1}=a_{n}\left(1-\frac{1}{3} a_{n}\right)$ ，即 $\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{3}{a_{n}\left(3-a_{n}\right)}=\frac{1}{a_{n}}+\frac{1}{3-a_{n}}$ ，
$\therefore \frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_{n}}=\frac{1}{3-a_{n}}>\frac{1}{3}$ ，
即 $\frac{1}{a_{2}}-\frac{1}{a_{1}}>\frac{1}{3}, \frac{1}{a_{3}}-\frac{1}{a_{2}}>\frac{1}{3}, \frac{1}{a_{4}}-\frac{1}{a_{3}}>\frac{1}{3}, \ldots, \frac{1}{a_{n}}-\frac{1}{a_{n-1}}>\frac{1}{3},(n \geq 2)$ ，
累加可得 $\frac{1}{a_{n}}-1>\frac{1}{3}(n-1)$ ，即 $\frac{1}{a_{n}}>\frac{1}{3}(n+2),(n \geq 2)$ ，
$\therefore a_{n}<\frac{3}{n+2},(n \geq 2)$ ，即 $a_{100}<\frac{1}{34}, 100 a_{100}<\frac{100}{34}<3$ ，
又 $\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_{n}}=\frac{1}{3-a_{n}}<\frac{1}{3-\frac{3}{n+2}}=\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{n+1}\right),(n \geq 2)$ ，
$\therefore \frac{1}{a_{2}}-\frac{1}{a_{1}}=\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{2}\right), \frac{1}{a_{3}}-\frac{1}{a_{2}}<\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{3}\right), \frac{1}{a_{4}}-\frac{1}{a_{3}}<\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{4}\right), \ldots$,
$\frac{1}{a_{n}}-\frac{1}{a_{n-1}}<\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{n}\right),(n \geq 3)$,
累加可得 $\frac{1}{a_{n}}-1<\frac{1}{3}(n-1)+\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}\right),(n \geq 3)$ ，
$\therefore \frac{1}{a_{100}}-1<33+\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{99}\right)<33+\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2} \times 4+\frac{1}{6} \times 94\right)<39$ ，
即 $\frac{1}{a_{100}}<40, ~ \therefore a_{100}>\frac{1}{40}$ ，即 $100 a_{100}>\frac{5}{2}$ ；
综上：$\frac{5}{2}<100 a_{100}<3$.

故选：B．
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用递推关系进行合理变形放缩。

## 非选择题部分（共 110 分）