2011 浙江高考数学 2011_浙江卷 (2011·文) 第 19 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

19．（14分）（2011•浙江）已知公差不为 0 的等差数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的首项 $\mathrm{a}_{1}\left(\mathrm{a}_{1} \in \mathrm{R}\right)$ ，且 $\frac{1}{\mathrm{a}_{1}}, \frac{1}{\mathrm{a}_{2}}$ ，$\frac{1}{\mathrm{a}_{4}}$ 成等比数列．
（I）求数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式；
（II）对 $n \in N^{*}$ ，试比较 $\frac{1}{a_{2}}+\frac{1}{a_{2^{2}}}+\frac{1}{a_{2^{3}}}+\cdots+\frac{1}{a_{2^{n}}}$ 与 $\frac{1}{a_{1}}$ 的大小。

Accepted Answer

【考点】数列与不等式的综合；数列的求和；等比数列的性质． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】（I）由 $\frac{1}{\mathrm{a}_{1}}, \frac{1}{\mathrm{a}_{2}}, \frac{1}{\mathrm{a}_{4}}$ 成等比数列，利用等比数列的性质及等差数列的通项公式列出关于首项和公差的方程，根据公差 d 不为 0 ，解得公差 d 与首项相等，然后根据首项和公差写出数列的通项公式即可； （II）设 $\mathrm{T}_{\mathrm{n}}=\frac{1}{\mathrm{a}_{2}}+\frac{1}{\mathrm{a}_{2}{ }^{2}}+\frac{1}{\mathrm{a}_{2}{ }^{3}}+\cdots+\frac{1}{\mathrm{a}_{2} \mathrm{n}}$ 与根据（I）中求得的通项公式表示出 $\mathrm{a}_{2^{\mathrm{n}}}$ ，然后利用等比数列的前 n 项和的公式求出 $\mathrm{T}_{\mathrm{n}}$ ，即可比较出两者的大小关系。 【解答】解：（I）设等差数列 $\left\{a_{n}ight\}$ 的公差为 $d$ ，由题意可知 $\left(\frac{1}{a_{2}}ight)^{2}=\frac{1}{a_{1}} 	imes \frac{1}{a_{4}}$ ， 即 $\left(a_{1}+dight)^{2}=a_{1}\left(a_{1}+3 dight)$ ，从而 $a_{1} d=d^{2}$ ， 因为 $d 
eq 0$ ，所以 $d=a_{1}$ ， 故 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=\mathrm{nd}=\mathrm{na}_{1}$ ； （II）记 $T_{n}=\frac{1}{a_{2}}+\frac{1}{a_{2}^{2}}+\ldots+\frac{1}{a_{2}^{n}}$ ，由 $a_{n}=n a_{1}$ ，得 $a_{2^{n}}=2^{n} a_{1}$ ， 则 $\mathrm{T}_{\mathrm{n}}=\frac{1}{\mathrm{a}_{2}}+\frac{1}{\mathrm{a}_{2}^{2}}+\ldots+\frac{1}{\mathrm{a}_{2}{ }^{\mathrm{n}}}=\frac{1}{\mathrm{a}_{1}}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{2^{\mathrm{n}}}ight)$ $=\frac{1}{a_{1}}\left(1-\frac{1}{2^{n}}ight)$ ， $	her…

2011 高考数学第 19 题答案解析

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