数列与不等式综合　·　历年高考数学真题与解析

10．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, a_{n+1}=a_{n}-\frac{1}{3} a_{n}^{2}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ ，则（ ）

10．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, a_{n+1}=\frac{a_{n}}{1+\sqrt{a_{n}}}\left(n \in \mathrm{~N}^{*}\right)$ ．记数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（ ）

20．已知数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\},\left\{\mathrm{c}_{\mathrm{n}}\right\}$ 中，$a_{1}=b_{1}=c_{1}=1, c_{n+1}=a_{n+1}-a_{n}, c_{n+1}=\frac{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{b}_{\mathrm{n}+2}} \cdot \mathrm{c}_{\mathrm{n}}(n \in \mathrm{~N} *)$ ．
（I）若数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 为等比数列，且公比 $q>0$ ，且 $b_{1}+b_{2}=6 b_{3}$ ，求 $q$ 与 $a_{n}$ 的通项公式；
（II）若数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 为等差数列，且公差 $d>0$ ，证明：$c_{1}+c_{2}+\cdots+\mathrm{c}_{\mathrm{n}}<1+\frac{1}{\mathrm{~d}}$ ．

18．记 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $S_{9}=-a_{5}$ ．
（1）若 $a_{3}=4$ ，求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）若 $a_{1}>0$ ，求使得 $S_{n} \geq a_{n}$ 的 $n$ 的取值范围．

20．（本小题满分16分）
设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 $a_{1}$ ，公差为 $\boldsymbol{d}$ 的等差数列，$\left\{b_{n}\right\}$ 是首项为 $b_{1}$ ，公比为 $q$ 的等比数列．
（1）设 $a_{1}=0, b_{1}=1, q=2$ ，若 $\left|a_{n}-b_{n}\right| \leq b_{1}$ 对 $n=1,2,3,4$ 均成立，求 $d$ 的取值范围；
（2）若 $a_{1}=b_{1}>0, m \in \mathbf{N}^{*}, q \in(1, \sqrt[m]{2}]$ ，证明：存在 $d \in \mathbf{R}$ ，使得 $\left|a_{n}-b_{n}\right| \leq b_{1}$ 对 $n=2,3, \cdots, m+1$ 均成立，并求 $d$ 的取值范围（用 $b_{1}, m, q$ 表示）。

20．（15 分）（2016•浙江）设数列满足 $\left|\mathrm{a}_{\mathrm{n}}-\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}+1}}{2}\right| \leq 1, \mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}$ ．

（I）求证：$\left|a_{n}\right| \geq 2^{n-1}\left(\left|a_{1}\right|-2\right)\left(n \in N^{*}\right)$
（II）若 $\left|a_{n}\right| \leq\left(\frac{3}{2}\right)^{n}, ~ n \in N^{*}$ ，证明：$\left|a_{n}\right| \leq 2, ~ n \in N^{*}$ 。

20．（15 分）（2016•浙江）设数列满足 $\left|a_{n}-\frac{a_{n+1}}{2}\right| \leq 1, n \in N^{*}$ 。
（I）求证：$\left|a_{n}\right| \geq 2^{n-1}\left(\left|a_{1}\right|-2\right)\left(n \in N^{*}\right)$
（II）若 $\left|a_{n}\right| \leq\left(\frac{3}{2}\right) n, n \in N^{*}$ ，证明：$\left|a_{n}\right| \leq 2, n \in N^{*}$ 。

（18）（本小题满 分 12 分）
设 $n \in N^{*}, x_{n}$ 是曲线 $y=x^{2 n+2}+1$ 在点 $(1,2)$ 处的切线与 x 轴交点的横坐标．
（I）求数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）记 $T_{n}=x_{1}^{2} x_{3}^{2} \cdots x_{2 n-1}^{2}$，证明 $T_{n} \geq \frac{1}{4 n}$．

22．（本小题满分 12 分，（1）小问 4 分，（2）小问 8 分）
在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=3, a_{n+1} a_{n}+\lambda a_{n+1}+\mu a_{n}{ }^{2}=0\left(n \in N_{+}\right)$
（1）若 $\lambda=0, \mu=-2$ ，求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）若 $\lambda=\frac{1}{k_{0}}\left(k_{0} \in N_{+}, k_{0} \geq 2\right), \mu=-1$ ，证明： $2+\frac{1}{3 k_{0}+1}

19．（本小题满分 13 分）
已知 $S_{n}$ 是等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，$S_{4}, S_{2}, S_{3}$ 成等差数列，且 $a_{2}+a_{3}+a_{4}=-18$．
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）是否存在正整数 $n$，使得 $S_{n} \geq 2013$ ？若存在，求出符合条件的所有 $n$ 的集合；若不存在，说明理由．

19．（14分）（2013 •广东）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1}=1, \frac{2 S_{n}}{n}=a_{n+1}-\frac{1}{3} n^{2}-n-\frac{2}{3}, n \in N^{*}$ ．

（1）求 $\mathrm{a}_{2}$ 的值；
（2）求数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式；
（3）证明：对一切正整数 $n$ ，有 $\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}<\frac{7}{4}$ ．

22．（12分）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\ln (1+\mathrm{x}) \frac{\mathrm{x}(1+\lambda \mathrm{x})}{1+\mathrm{x}}$ ．
（I）若 $x \geq 0$ 时，$f(x) \leq 0$ ，求 $\lambda$ 的最小值；
（II）设数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{\mathrm{n}}$ ，证明： $\mathrm{a}_{2 \mathrm{n}}-\mathrm{a}_{\mathrm{n}}+\frac{1}{4 \mathrm{n}}>\ln 2$ ．

13．设 $1=a_{1} \leq a_{2} \leq \ldots \leq a_{7}$ ，其中 $a_{1}, a_{3}, a_{5}, a_{7}$ 成公比为 $q$ 的等比数列，$a_{2}, a_{4}, a_{6}$ 成公差为 1 的等差数列，则 $q$ 的最小值是 $\_\_\_\_$。

19、（2011•浙江）已知公差不为 0 的等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项 $a_{1}$ 为 $a(a \in R)$ 设数列的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $\frac{1}{a_{1}}, \frac{1}{a_{2}}, \frac{1}{a_{4}}$ 成等比数列．
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式及 $S_{n}$ ；
（II）记 $\mathrm{A}_{\mathrm{n}}=\frac{1}{S_{1}}+\frac{1}{S_{2}}+\frac{1}{S_{3}}+\ldots+\frac{1}{S_{n}}, \mathrm{~B}_{\mathrm{n}}=\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\ldots+\frac{1}{a_{2} n-1}$ ，当 $\mathrm{a} \geq 2$ 时，试比较 $\mathrm{A}_{\mathrm{n}}$ 与 $\mathrm{B}_{\mathrm{n}}$ 的大小。
考点：数列与不等式的综合；数列的求和；等差数列的性质。
专题：计算题；证明题。
分析：（I）设出等差数列的公差，利用等比中项的性质，建立等式求得 $d$ ，则数列的通项公式和前 $n$ 项的和可得。
（II）利用（I）的 $a_{n}$ 和 $S_{n}$ ，代入不等式，利用裂项法和等比数列的求和公式整理 $A_{n}$ 与 $B_{n}$ ，最后对 $a>0$ 和 $a<0$两种情况分情况进行比较。

20．（本小题满分 14 分）
设 $b>0$ ，数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=b, a_{n}=\frac{n b a_{n-1}}{a_{n-1}+n-1}(n \geqslant 2)$ ．
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数 $n, 2 a_{n} \leqslant b^{n+1}+1$ ．

19．（14分）（2011•浙江）已知公差不为 0 的等差数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的首项 $\mathrm{a}_{1}\left(\mathrm{a}_{1} \in \mathrm{R}\right)$ ，且 $\frac{1}{\mathrm{a}_{1}}, \frac{1}{\mathrm{a}_{2}}$ ，$\frac{1}{\mathrm{a}_{4}}$ 成等比数列．
（I）求数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式；
（II）对 $n \in N^{*}$ ，试比较 $\frac{1}{a_{2}}+\frac{1}{a_{2^{2}}}+\frac{1}{a_{2^{3}}}+\cdots+\frac{1}{a_{2^{n}}}$ 与 $\frac{1}{a_{1}}$ 的大小。

20．（本小题满分 14 分）
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 与 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足

$ b_{n+1} a_{n}+b_{n} a_{n+1}=(-2)^{n}+1, b_{n}=\frac{3+(-1)^{n-1}}{2}, n \in N^{*} \text {, 且 } a_{1}=2 \text {. } $

（I）求 $a_{2}, a_{3}$ 的值；
（II）设 $c_{n}=a_{2 n+1}-a_{2 n-1}, n \in N^{*}$ ，证明 $\left\{c_{n}\right\}$ 是等比数列；
（III）设 $S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，证明 $\frac{S_{1}}{a_{1}}+\frac{S_{2}}{a_{2}}+\cdots+\frac{S_{2 n-1}}{a_{2 n-1}}+\frac{S_{2 n}}{a_{2 n}} \leq n-\frac{1}{3}\left(n \in N^{*}\right)$ ．

18．（本小题满分 12 分）
数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, a_{2}=2, a_{n+2}=\left(1+\cos ^{2} \frac{n \pi}{2}\right) a_{n}+\sin ^{2} \frac{n \pi}{2}, n=1,2,3, \cdots$ ．
（I）求 $a_{3}, a_{4}$ ，并求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设 $b_{n}=\frac{a_{2 n-1}}{a_{2 n}}, S_{n}=b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n}$ ．证明：当 $n \geq 6$ 时，$\left|S_{n}-2\right|<\frac{1}{n}$ ．

19．（本小题满分 12 分）
等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 各项均为正整数，$a_{1}=3$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 中，$b_{1}=1$ ，且 $b_{2} S_{2}=64,\left\{b_{n}\right\}$ 是公比为 64 的等比数列．
（1）求 $a_{n}$ 与 $b_{n}$ ；
（2）证明：$\frac{1}{S_{1}}+\frac{1}{S_{2}}+\cdots \cdots+\frac{1}{S_{n}}<\frac{3}{4}$ ．

20．（12分）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．已知 $a_{1}=a, a_{n+1}=S_{n}+3^{n}, n \in N^{*}$ ．
（I）设 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\mathrm{S}_{\mathrm{n}}-3^{\mathrm{n}}$ ，求数列 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式；
（II）若 $a_{n+1} \geq a_{n}, n \in N^{*}$ ，求 $a$ 的取值范围．

（22）（本题 14 分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}, a_{n} \geq 0, a_{1}=0, a_{n+1}^{2}+a_{n+1}-1=a_{n}^{2}\left(n \in N^{\bullet}\right)$ ．记

$ S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n} . T_{n}=\frac{1}{1+a_{1}}+\frac{1}{\left(1+a_{1}\right)\left(1+a_{2}\right)}+\cdots+\frac{1}{\left(1+a_{1}\right)\left(1+a_{2}\right) \cdots\left(1+a_{n}\right)} . $

求证：当 $n \in N^{\bullet}$ 时，
（ I ）$a_{n}（II）$S_{n}>n-2$ ；
（III）$T_{n}<3$ 。