已知 F_ 1 , F_ 2 为椭圆 C: x^ 2 16…——2021 高考数学第 15 题答案解析

【答案】8

【解析】

【分析】根据已知可得 $P F_{1} \perp P F_{2}$ ，设 $\left|P F_{1}\right|=m,\left|P F_{2}\right|=n$ ，利用勾股定理结合 $m+n=8$ ，求出 $m n$ ，四边形 $P F_{1} Q F_{2}$ 面积等于 $m n$ ，即可求解．

【详解】因为 $P, Q$ 为 $C$ 上关于坐标原点对称的两点，

且 $|P Q|=\left|F_{1} F_{2}\right|$ ，所以四边形 $P F_{1} Q F_{2}$ 为矩形，
设 $\left|P F_{1}\right|=m,\left|P F_{2}\right|=n$ ，则 $m+n=8, m^{2}+n^{2}=48$ ，

所以 $64=(m+n)^{2}=m^{2}+2 m n+n^{2}=48+2 m n$ ，
$m n=8$ ，即四边形 $P F_{1} Q F_{2}$ 面积等于 8 ．
故答案为： 8 ．