设双曲线 C: x^ 2 a^ 2 - y^ 2 b^ 2…——2020 高考数学第 11 题答案解析

【答案】A

## 【解析】

## 【分析】

根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案．

【详解】 $\because \frac{c}{a}=\sqrt{5}, \quad \therefore c=\sqrt{5} a$ ，根据双曲线的定义可得 $\left|\left|P F_{1}\right|-\left|P F_{2}\right|\right|=2 a$ ，
$S_{\triangle P F_{1} F_{2}}=\frac{1}{2}\left|P F_{1}\right| \cdot\left|P F_{2}\right|=4$ ，即 $\left|P F_{1}\right| \cdot\left|P F_{2}\right|=8$ ，
$\because F_{1} P \perp F_{2} P, \quad \therefore\left|P F_{1}\right|^{2}+\left|P F_{2}\right|^{2}=(2 c)^{2}$ ，
$\therefore\left(\left|P F_{1}\right|-\left|P F_{2}\right|\right)^{2}+2\left|P F_{1}\right| \cdot\left|P F_{2}\right|=4 c^{2}$ ，即 $a^{2}-5 a^{2}+4=0$ ，解得 $a=1$ ，

故选：A．
【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题．