已知 F 是双曲线 C: x^ 2 4 - y^ 2 5…——2019 高考数学第 10 题答案解析

【答案】B
【解析】
【分析】
设 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，因为 $|O P|=|O F|$ 再结合双曲线方程可解出 $\left|y_{0}\right|$ ，再利用三角形面积公式可求出结果．

【详解】设点 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，则 $\frac{x_{0}^{2}}{4}-\frac{y_{0}^{2}}{5}=1$①．又 $|O P|=|O F|=\sqrt{4+5}=3$ ，
$\therefore x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=9$②．由①②得 $y_{0}^{2}=\frac{25}{9}$ ，即 $\left|y_{0}\right|=\frac{5}{3}$ ，
$\therefore S_{\triangle O P F}=\frac{1}{2}|O F| \cdot\left|y_{0}\right|=\frac{1}{2} \times 3 \times \frac{5}{3}=\frac{5}{2}$ 。故选B。
【点睛】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．