双曲线 x^ 2 a^ 2 - y^ 2 b^ 2 =1(…——2024 高考数学第 8 题答案解析

【答案】C

## 【解析】

【分析】可利用 $\triangle P F_{1} F_{2}$ 三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设 $\left|P F_{2}\right|=m$ ，由面积公式求出 $m$ ，由勾股定理得出 $c$ ，结合第一定义再求出 $a$ ．

【详解】如下图：由题可知，点 $P$ 必落在第四象限，$\angle F_{1} P F_{2}=90^{\circ}$ ，设 $\left|P F_{2}\right|=m$ ，
$\angle P F_{2} F_{1}=\theta_{1}, \angle P F_{1} F_{2}=\theta_{2}$ ，由 $k_{P F_{2}}=\tan \theta_{1}=2$ ，求得 $\sin \theta_{1}=\frac{2}{\sqrt{5}}$ ，

因为 $\angle F_{1} P F_{2}=90^{\circ}$ ，所以 $k_{P F_{1}} \cdot k_{P F_{2}}=-1$ ，求得 $k_{P F_{1}}=-\frac{1}{2}$ ，即 $\tan \theta_{2}=\frac{1}{2}$ ，
$\sin \theta_{2}=\frac{1}{\sqrt{5}}$ ，由正弦定理可得：$\left|P F_{1}\right|:\left|P F_{2}\right|:\left|F_{1} F_{2}\right|=\sin \theta_{1}: \sin \theta_{2}: \sin 90^{\circ}=2: 1: \sqrt{5}$ ，
则由 $\left|P F_{2}\right|=m$ 得 $\left|P F_{1}\right|=2 m,\left|F_{1} F_{2}\right|=2 c=\sqrt{5} m$ ，
由 $S_{\triangle P F_{1} F_{2}}=\frac{1}{2}\left|P F_{1}\right| \cdot\left|P F_{2}\right|=\frac{1}{2} m \cdot 2 m=8$ 得 $m=2 \sqrt{2}$ ，

则 $\left|P F_{2}\right|=2 \sqrt{2},\left|P F_{1}\right|=4 \sqrt{2},\left|F_{1} F_{2}\right|=2 c=2 \sqrt{10}, c=\sqrt{10}$ ，
由双曲线第一定义可得：$\left|P F_{1}\right|-\left|P F_{2}\right|=2 a=2 \sqrt{2}, a=\sqrt{2}, b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}=\sqrt{8}$ ，

所以双曲线的方程为 $\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{8}=1$ ．
故选：C