【解答】
（16分）（2016•江苏）记 $U=\{1,2, \ldots, 100\}$ ，对数列 $\left\{a_{n}\right\}\left(n \in N^{*}\right)$ 和 $U$ 的子集 $T$ ，若 $\mathrm{T}=\emptyset$ ，定义 $\mathrm{S}_{\mathrm{T}}=0$ ；若 $\mathrm{T}=\left\{\mathrm{t}_{1}, \mathrm{t}_{2}, \ldots, \mathrm{t}_{\mathrm{k}}\right\}$ ，定义 $\mathrm{S}_{\mathrm{T}}=\mathrm{a}_{\mathrm{t}_{1}}{ }^{+} \mathrm{a}_{\mathrm{t}_{2}}{ }^{+} \ldots+\mathrm{a}_{\mathrm{t}_{\mathrm{k}}}$ 。例如： $\mathrm{T}=\{1,3,66\}$时，$S_{T}=a_{1}+a_{3}+a_{66}$ ．现设 $\left\{a_{n}\right\} \quad\left(n \in N^{*}\right)$ 是公比为 3 的等比数列，且当 $T=\{2,4\}$ 时，$S_{T}=30$ ．
（1）求数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式；
（2）对任意正整数 $\mathrm{k}(1 \leq \mathrm{k} \leq 100)$ ，若 $\mathrm{T} \subseteq\{1,2, \ldots, \mathrm{k}\}$ ，求证： $\mathrm{S}_{\mathrm{T}}<\mathrm{a}_{\mathrm{k}+1}$ ；
③设 $\mathrm{C} \subseteq \mathrm{U}, \mathrm{D} \subseteq \mathrm{U}, \mathrm{S}_{\mathrm{C}} \geq \mathrm{S}_{\mathrm{D}}$ ，求证： $\mathrm{S}_{\mathrm{C}}+\mathrm{S}_{\mathrm{C} \cap \mathrm{D}} \geq 2 \mathrm{~S}_{\mathrm{D}}$ ．
【分析】（1）根据题意，由 $S_{T}$ 的定义，分析可得 $S_{T}=a_{2}+a_{4}=a_{2}+9 a_{2}=30$ ，计算可得 $a_{2}=3$ ，进而可得 $a_{1}$ 的值，由等比数列通项公式即可得答案；
（2）根据题意，由 $\mathrm{S}_{\mathrm{T}}$ 的定义，分析可得 $\mathrm{S}_{\mathrm{T}} \leq \mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{2}+\ldots \mathrm{a}_{\mathrm{k}}=1+3+3^{2}+\ldots+3^{\mathrm{k}-1}$ ，由等比数列的前 $n$项和公式计算可得证明；
③设 $\mathrm{A}=\mathrm{C}_{\mathrm{C}}(\mathrm{C} \cap \mathrm{D}), ~ \mathrm{~B}=\mathrm{C}_{\mathrm{D}}(\mathrm{C} \cap \mathrm{D})$ ，则 $\mathrm{A} \cap \mathrm{B}=\varnothing$ ，进而分析可以将原命题转化为证明 S $C \geq 2 S_{B}$ ，分 2 种情况进行讨论：①、若 $B=\varnothing$ ，②、若 $B \neq \varnothing$ ，可以证明得到 $S_{A} \geq 2 S_{B}$ ，即可得证明．
【解答】解：（1）当 $\mathrm{T}=\{2,4\}$ 时， $\mathrm{S}_{\mathrm{T}}=\mathrm{a}_{2}+\mathrm{a}_{4}=\mathrm{a}_{2}+9 \mathrm{a}_{2}=30$ ，
因此 $a_{2}=3$ ，从而 $a_{1}=\frac{a_{2}}{3}=1$ ，
故 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=3^{\mathrm{n}-1}$ ，
② $\mathrm{S}_{\mathrm{T}} \leq \mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{2}+\ldots \mathrm{a}_{\mathrm{k}}=1+3+3^{2}+\ldots+3^{\mathrm{k}-1}=\frac{3^{\mathrm{k}}-1}{2}<3^{\mathrm{k}}=\mathrm{a}_{\mathrm{k}+1}$ ，
③设 $\mathrm{A}=\mathrm{C}_{\mathrm{C}}(\mathrm{C} \cap \mathrm{D}), ~ \mathrm{~B}=\mathrm{C}_{\mathrm{D}}(\mathrm{C} \cap \mathrm{D})$ ，则 $\mathrm{A} \cap \mathrm{B}=\varnothing$ ，
分析可得 $\mathrm{S}_{\mathrm{C}}=\mathrm{S}_{\mathrm{A}}+\mathrm{S}_{\mathrm{C} \cap \mathrm{D}}, \mathrm{S}_{\mathrm{D}}=\mathrm{S}_{\mathrm{B}}+\mathrm{S}_{\mathrm{C} \cap \mathrm{D}}$ ，则 $\mathrm{S}_{\mathrm{C}}+\mathrm{S}_{\mathrm{C} \cap \mathrm{D}}-2 \mathrm{~S}_{\mathrm{D}}=\mathrm{S}_{\mathrm{A}}-2 \mathrm{~S}_{\mathrm{B}}$ ，
因此原命题的等价于证明 $S_{C} \geq 2 S_{B}$ ，
由条件 $\mathrm{S}_{\mathrm{C}} \geq \mathrm{S}_{\mathrm{D}}$ ，可得 $\mathrm{S}_{\mathrm{A}} \geq \mathrm{S}_{\mathrm{B}}$ ，
（1）、若 $\mathrm{B}=\varnothing$ ，则 $\mathrm{S}_{\mathrm{B}}=0$ ，故 $\mathrm{S}_{\mathrm{A}} \geq 2 \mathrm{~S}_{\mathrm{B}}$ ，
（2）、若 $B \neq \varnothing$ ，由 $S_{A} \geq S_{B}$ 可得 $A \neq \varnothing$ ，设 $A$ 中最大元素为 $1, B$ 中最大元素为 $m$ ，
若 $m \geq 1+1$ ，则其与 $S_{A}因为 $\mathrm{A} \cap \mathrm{B}=\varnothing$ ，所以 $1 \neq \mathrm{m}$ ，则 $1 \geq \mathrm{m}+1$ ，
$\mathrm{S}_{\mathrm{B}} \leq \mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{2}+\ldots \mathrm{a}_{\mathrm{m}}=1+3+3^{2}+\ldots+3^{\mathrm{m}-1}=\frac{3^{\mathrm{m}}-1}{2} \leq \frac{\mathrm{a}_{\mathrm{m}+1}}{2}=\frac{\mathrm{S}_{\mathrm{A}}}{2}$ ，即 $\mathrm{S}_{\mathrm{A}} \geq 2 \mathrm{~S}_{\mathrm{B}}$ ，
综上所述， $\mathrm{S}_{\mathrm{A}} \geq 2 \mathrm{~S}_{\mathrm{B}}$ ，
故 $\mathrm{S}_{\mathrm{C}}+\mathrm{S}_{\mathrm{CnD}} \geq 2 \mathrm{~S}_{\mathrm{D}}$ 。
【点评】本题考查数列的应用，涉及新定义的内容，解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述。
附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．【选修4－1几何证明选讲】