2023_天津卷 (2023)
14．在 $\triangle A B C$ 中，$\angle A=60^{\circ}, B C=1$ ，点 $D$ 为 $A B$ 的中点，点 $E$ 为 $C D$ 的中点，若设 $\overrightarrow{A B}=\vec{a}, \overrightarrow{A C}=\vec{b}$ ，则 $\overrightarrow{A E}$ 可用 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示为 $\_\_\_\_$ ；若 $\overrightarrow{B F}=\frac{1}{3} \overrightarrow{B C}$ ，则 $\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{A F}$ 的最大值为 $\_\_\_\_$。
【答案】
①．$\frac{1}{4} \vec{a}+\frac{1}{2} \vec{b}$
②．$\frac{13}{24}$
## 【解析】
【分析】空1：根据向量的线性运算，结合 $E$ 为 $C D$ 的中点进行求解；空 2：用 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示出 $\overrightarrow{A F}$ ，结合上一空答案，于是 $\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{A F}$ 可由 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解．
【详解】空 1：因为 $E$ 为 $C D$ 的中点，则 $\overrightarrow{E D}+\overrightarrow{E C}=\overrightarrow{0}$ ，可得 $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{A E}+\overrightarrow{E D}=\overrightarrow{A D} \\ \overrightarrow{A E}+\overrightarrow{E C}=\overrightarrow{A C}\end{array}\right.$,
两式相加，可得到 $2 \overrightarrow{A E}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{A C}$ ，
即 $2 \overrightarrow{A E}=\frac{1}{2} \vec{a}+\vec{b}$ ，则 $\overrightarrow{A E}=\frac{1}{4} \vec{a}+\frac{1}{2} \vec{b}$ ；
空 2：因为 $\overrightarrow{B F}=\frac{1}{3} \overrightarrow{B C}$ ，则 $2 \overrightarrow{F B}+\overrightarrow{F C}=\overrightarrow{0}$ ，可得 $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{A F}+\overrightarrow{F C}=\overrightarrow{A C} \\ \overrightarrow{A F}+\overrightarrow{F B}=\overrightarrow{A B}\end{array}\right.$ ，
得到 $\overrightarrow{A F}+\overrightarrow{F C}+2(\overrightarrow{A F}+\overrightarrow{F B})=\overrightarrow{A C}+2 \overrightarrow{A B}$ ，
即 $3 \overrightarrow{A F}=2 \vec{a}+\vec{b}$ ，即 $\overrightarrow{A F}=\frac{2}{3} \vec{a}+\frac{1}{3} \vec{b}$ ．
于是 $\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{A F}=\left(\frac{1}{4} \vec{a}+\frac{1}{2} \vec{b}\right) \cdot\left(\frac{2}{3} \vec{a}+\frac{1}{3} \vec{b}\right)=\frac{1}{12}\left(2 \vec{a}^{2}+5 \vec{a} \cdot \vec{b}+2 \vec{b}^{2}\right)$ ．
记 $A B=x, A C=y$ ，
则 $\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{A F}=\frac{1}{12}\left(2 \vec{a}^{2}+5 \vec{a} \cdot \vec{b}+2 \vec{b}^{2}\right)=\frac{1}{12}\left(2 x^{2}+5 x y \cos 60^{\circ}+2 y^{2}\right)=\frac{1}{12}\left(2 x^{2}+\frac{5 x y}{2}+2 y^{2}\right)$ ，
在 $\triangle A B C$ 中，根据余弦定理：$B C^{2}=x^{2}+y^{2}-2 x y \cos 60^{\circ}=x^{2}+y^{2}-x y=1$ ，
于是 $\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{A F}=\frac{1}{12}\left(2 x y+\frac{5 x y}{2}+2\right)=\frac{1}{12}\left(\frac{9 x y}{2}+2\right)$ ，
由 $x^{2}+y^{2}-x y=1$ 和基本不等式，$x^{2}+y^{2}-x y=1 \geq 2 x y-x y=x y$ ，
故 $x y \leq 1$ ，当且仅当 $x=y=1$ 取得等号，
则 $x=y=1$ 时， $\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{A F}$ 有最大值 $\frac{13}{24}$ ．
故答案为：$\frac{1}{4} \vec{a}+\frac{1}{2} \vec{b} ; \frac{13}{24}$ ．
