2016_天津卷 (2016·理)
14．（5分）（2016•天津）设抛物线 $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2 \mathrm{p} \mathrm{t}^{2} \\ \mathrm{y}=2 \mathrm{pt}\end{array}\right.$（t为参数， $\mathrm{p}>0$ ）的焦点为 F ，准线为 l ，过抛物线上一点 A 作 1 的垂线，垂足为 B ，设 $\mathrm{C}\left(\frac{7}{2} \mathrm{p}, 0\right), \mathrm{AF}$ 与 BC 相交于点 E ．若 $|\mathrm{CF}|=2 \mid \mathrm{AF} \mid$ ，且 $\triangle \mathrm{ACE}$ 的面积为 $3 \sqrt{2}$ ，则 p 的值为 $\_\_\_\_$ ．
三、计算题
$\sqrt{6}$
【解答】
（5分）（2016•天津）设抛物线 $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2 \mathrm{p} \mathrm{t}^{2} \\ \mathrm{y}=2 \mathrm{pt}\end{array}\right.$（t为参数， $\mathrm{p}>0$ ）的焦点为 F ，准线为 l ，过抛物线上一点 A 作 1 的垂线，垂足为 B ，设 $\mathrm{C}\left(\frac{7}{2} \mathrm{p}, 0\right), \mathrm{AF}$ 与 BC 相交于点 E ．若 $|\mathrm{CF}|=2 \mid \mathrm{AF} \mid$ ，且 $\triangle \mathrm{ACE}$ 的面积为 $3 \sqrt{2}$ ，则 p 的值为＿$\sqrt{6}$ 。
【分析】化简参数方程为普通方程，求出 F 与 1 的方程，然后求解 A 的坐标，利用三角形的面积列出方程，求解即可。
【解答】解：抛物线 $\left\{\begin{array}{l}x=2 p t^{2} \\ y=2 p t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数，$p>0$ ）的普通方程为：$y^{2}=2 p x$ 焦点为 $F\left(\frac{p}{2}, 0\right.$ ），如图：过抛物线上一点 A 作 1 的垂线，垂足为 B ，设 $\mathrm{C}\left(\frac{7}{2} \mathrm{p}, 0\right), \mathrm{AF}$ 与 BC 相交于点 E ．
$|\mathrm{CF}|=2|\mathrm{AF}|$,
$|\mathrm{CF}|=3 \mathrm{p}, \quad|\mathrm{AB}|=|\mathrm{AF}|=\frac{3}{2} \mathrm{p}, \quad \mathrm{A} \quad(\mathrm{p}, \quad \sqrt{2} \mathrm{p})$,
$\triangle \mathrm{ACE}$ 的面积为 $3 \sqrt{2}, \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EF}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{CF}}=\frac{1}{2}$ ，
可得 $\frac{1}{3} S_{\triangle A F C}=S_{\triangle A C E}$ ．
即：$\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times 3 \mathrm{p} \times \sqrt{2} \mathrm{p}=3 \sqrt{2}$ ，
解得 $\mathrm{p}=\sqrt{6}$ ．
故答案为：$\sqrt{6}$ ．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线的参数方程的应用，考查分析问题解决问题的能力。
三、计算题
抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的准线为 $l, P$ 为 $C$ 上的动点，过 $P$ 作 $\odot A: x^{2}+(y-4)^{2}=1$ 的一条切线，$Q$ 为切点，过 $P$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $B$ ，则（ ）
已知抛物线 $y^{2}=16 x$ ，则焦点坐标为 $\_\_\_\_$。
已知点 $A(1, \sqrt{5})$ 在抛物线 $C: y^{2}=2 p x$ 上，则 $A$ 到 $C$ 的准线的距离为 $\_\_\_\_$ ．