（5分）已知 F 为抛物线 C： y^ 2 =4 x 的焦…——2017 高考数学第 10 题答案解析

【考点】K8：抛物线的性质．
【专题】11：计算题；34：方程思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．

**方法一**：根据题意可判断当A与D，B，E关于 x 轴对称，即直线 DE 的斜率为1，$|\mathrm{AB}|+|\mathrm{DE}|$ 最小，根据弦长公式计算即可。

**方法二**：设直线 $\mathrm{I}_{1}$ 的倾斜角为 $\theta$ ，则 $\mathrm{I}_{2}$ 的倾斜角为
$\frac{\pi}{2}+\theta$ ，利用焦点弦的弦长公式分别表示出 $|A B|,|D E|$ ，整理求得答案
【解答】解：如图， $\mathrm{I}_{1} \perp \mathrm{I}_{2}$ ，直线 $\mathrm{I}_{1}$ 与 C 交于 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 两点，
直线 $I_{2}$ 与 $C$ 交于 $D$ 、 $E$ 两点，
要使 $|A B|+|D E|$ 最小，
则 A 与 $\mathrm{D}, \mathrm{B}, \mathrm{E}$ 关于 x 轴对称，即直线 DE 的斜率为 1 ，
又直线 $\mathrm{I}_{2}$ 过点 $(1,0)$ ，
则直线 $\mathrm{I}_{2}$ 的方程为 $\mathrm{y}=\mathrm{x}-1$ ，
联立方程组 $\left\{\begin{array}{l}y^{2}=4 x \\ y=x-1\end{array}\right.$ ，则 $y^{2}-4 y-4=0$ ，
$\therefore y_{1}+y_{2}=4, \quad y_{1} y_{2}=-4$ ，
$\therefore|D E|=\sqrt{1+\frac{1}{k^{2}}} \cdot\left|y_{1}-y_{2}\right|=\sqrt{2} \times \sqrt{32}=8$ ，
$\therefore|\mathrm{AB}|+|\mathrm{DE}|$ 的最小值为 $2|\mathrm{DE}|=16$ ，
**方法二**：设直线 $\mathrm{l}_{1}$ 的倾斜角为 $\theta$ ，则 $\mathrm{l}_{2}$ 的倾斜角为 $\frac{\pi}{2}+\theta$ ，
根据焦点弦长公式可得 $|A B|=\frac{2 p}{\sin ^{2} \theta}=\frac{4}{\sin ^{2} \theta}$

$|D E|=\frac{2 p}{\sin ^{2}\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)}=\frac{2 p}{\cos ^{2} \theta}=\frac{4}{\cos ^{2} \theta}$
$\therefore|\mathrm{AB}|+|\mathrm{DE}|=\frac{4}{\sin ^{2} \theta}+\frac{4}{\cos ^{2} \theta}=\frac{4}{\sin ^{2} \theta \cos ^{2} \theta}=\frac{16}{\sin ^{2} 2 \theta}$ ，
$\because 0<\sin ^{2} 2 \theta \leq 1$,
∴ 当 $\theta=45^{\circ}$ 时，$|A B|+|D E|$ 的最小，最小为 16 ，
故选：A．

【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系，弦长公式，对于过焦点的弦，能熟练掌握相关的结论，解决问题事半功倍属于中档题。