（5 分）若等比数列 a_ n 满足 a_ 2 +a_ 4…——2013 高考数学第 11 题答案解析

【考点】88：等比数列的通项公式；89：等比数列的前 n 项和．
【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】利用等比数列的通项公式和已知即可得出 $\left\{\begin{array}{l}a_{1} q+a_{1} q^{3}=20 \\ a_{1} q^{2}+a_{1} q^{4}=40\end{array}\right.$ ，解出即可得到 $a_{1}$ 及 $q$ ，再利用等比数列的前 $n$ 项和公式即可得出 $S_{n}=\frac{a_{1}\left(q^{n}-1\right)}{q-1}$ ．

【解答】解：设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q$ ，
$\because a_{2}+a_{4}=a_{2}\left(1+q^{2}\right)=20$①

$a_{3}+a_{5}=a_{3}\left(1+q^{2}\right)=40(2)$
∴（1）（2）两个式子相除，可得到 $\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{40}{20}=2$
即等比数列的公比 $q=2$ ，
将 $q=2$ 带入（1）中可求出 $a_{2}=4$
则 $\mathrm{a}_{1}=\frac{\mathrm{a}_{2}}{\mathrm{q}}=\frac{4}{2}=2$
∴ 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 时首项为 2 ，公比为 2 的等比数列．
∴ 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为：$S_{n}=\frac{a_{1}\left(q^{n}-1\right)}{q-1}=\frac{2 \times\left(2^{n}-1\right)}{2-1}=2^{n+1}-2$ ．
故答案为： $2,2^{n+1}-2$ ．
【点评】熟练掌握等比数列的通项公式和等比数列的前 n 项和公式是解题的关键．