某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一…——2022 高考数学第 19 题答案解析

【答案】（1） $0.06 \mathrm{~m}^{2} ; ~ 0.39 \mathrm{~m}^{3}$
（2） 0.97
（3） $1209 \mathrm{~m}^{3}$

## 【解析】

【分析】（1）计算出样本的一棵根部横截面积的平均值及一棵材积量平均值，即可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
（2）代入题给相关系数公式去计算即可求得样本的相关系数值；
（3）依据树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，列方程即可求得该林区这种树木的总材积量的估计值．

## 【小问 1 详解】

样本中 10 棵这种树木的根部横截面积的平均值 $\bar{x}=\frac{0.6}{10}=0.06$
样本中 10 棵这种树木的材积量的平均值 $\bar{y}=\frac{3.9}{10}=0.39$
据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为 $0.06 \mathrm{~m}^{2}$ ，

平均一棵的材积量为 $0.39 \mathrm{~m}^{3}$
【小问 2 详解】
$r=\frac{\sum_{\mathrm{i}=1}^{10}\left(x_{\mathrm{i}}-\bar{x}\right)\left(y_{\mathrm{i}}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{\mathrm{i}=1}^{10}\left(x_{\mathrm{i}}-\bar{x}\right)^{2} \sum_{\mathrm{i}=1}^{10}\left(y_{\mathrm{i}}-\bar{y}\right)^{2}}}=\frac{\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} x_{\mathrm{i}} y_{\mathrm{i}}-10 \overline{x y}}{\sqrt{\left(\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} x_{\mathrm{i}}^{2}-10 \bar{x}^{2}\right)\left(\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} y_{\mathrm{i}}^{2}-10 \bar{y}^{2}\right)}}$
$=\frac{0.2474-10 \times 0.06 \times 0.39}{\sqrt{\left(0.038-10 \times 0.06^{2}\right)\left(1.6158-10 \times 0.39^{2}\right)}}=\frac{0.0134}{\sqrt{0.0001896}} \approx \frac{0.0134}{0.01377} \approx 0.97$
则 $r \approx 0.97$
【小问 3 详解】
设该林区这种树木的总材积量的估计值为 $Y m^{3}$ ，
又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，

可得 $\frac{0.06}{0.39}=\frac{186}{Y}$ ，解之得 $Y=1209 \mathrm{~m}^{3}$ ．
则该林区这种树木的总材积量估计为 $1209 \mathrm{~m}^{3}$