一元线性回归模型及其应用　·　历年高考数学真题与解析

19．某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了 10 棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位： $\mathrm{m}^{2}$ ）和材积量（单位： $\mathrm{m}^{3}$ ），得到如下数据：

并计算得 $\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} x_{\mathrm{i}}^{2}=0.038, \sum_{\mathrm{i}=1}^{10} y_{\mathrm{i}}^{2}=1.6158, \sum_{\mathrm{i}=1}^{10} x_{\mathrm{i}} y_{\mathrm{i}}=0.2474$ 。
（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到 0.01 ）；
（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为 $186 \mathrm{~m}^{2}$ 。已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比。利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量

的估计值．
附：相关系数 $r=\frac{\sum_{\mathrm{i}=1}^{n}\left(x_{\mathrm{i}}-\bar{x}\right)\left(y_{\mathrm{i}}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{\mathrm{i}=1}^{n}\left(x_{\mathrm{i}}-\bar{x}\right)^{2} \sum_{\mathrm{i}=1}^{n}\left(y_{\mathrm{i}}-\bar{y}\right)^{2}}}, \sqrt{1.896} \approx 1.377$ ．

18．（12分）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元的折线图．

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了 y 与时间变量 t 的两个线性回归模型。根据2000年至2016年的数据（时间变量 t 的值依次为 $1,2, \ldots$ ，

17）建立模型①：$\widehat{y}=-30.4+13.5 t$ ；根据2010年至2016年的数据（时间变量 $t$的值依次为 $1,2, \ldots, 7$ ）建立模型②：$\widehat{y}^{=99+17.5 t}$ ．
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由。

18．（12分）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了 y 与时间变量 t 的两个线性回归模型。根据2000年至2016年的数据（时间变量 t 的值依次为 $1,2, \ldots$ ，17）建立模型①：$\widehat{y}=-30.4+13.5 t$ ；根据2010年至2016年的数据（时间变量 t 的值依次为 $1,2, \ldots$ ，7）建立模型②：$\widehat{\mathrm{y}}=99+17.5 \mathrm{t}$ ．
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值 ；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由。

5．（ 5 分）为了研究某班学生的脚长 x （单位：厘米）和身高 y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取 10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出 y 与 x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为 $\widehat{\mathrm{y}}=\widehat{\mathrm{b}} x+\widehat{\mathrm{a}}$ ，已知 $\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} \mathrm{x}_{\mathrm{i}}=225, \sum_{\mathrm{i}=1}^{10} \mathrm{y}_{\mathrm{i}}=1600, \widehat{\mathrm{~b}} =4$ ，该班某学生的脚长为 24 ，据此估计其身高为

18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨 ）的折线图．

注：年份代码1－7分别对应年份2008－2014．
（I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以证明；
（II）建立 $y$ 关于 $t$ 的回归方程（系数精确到0．01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．

附注：
参考数据：$\sum_{i=1}^{7} y_{i}=9.32, \sum_{i=1}^{7} t_{i} y_{i}=40.17, \sqrt{\sum_{i=1}^{7}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}}=0.55, \sqrt{7} \approx 2.646$ ．
参考公式：相关系数 $r=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(t_{i}-\bar{t}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(t_{i}-\bar{t}\right)^{2} \sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}}}$ ，
回归方程 $\widehat{y}=\widehat{a}+\widehat{b} t$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

$ \widehat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(t_{i}-\bar{t}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sum_{i=1}^{n}\left(t_{i}-\bar{t}\right)^{2}}, \widehat{a}=\bar{y}-\widehat{b} t . $

18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨的折线图．

注：年份代码1－7分别对应年份2008－2014．
（I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以证明；
（II）建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到0．01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．

附注：
参考数据：$\sum_{i=1}^{T} y_{i}=9.32, \sum_{i=1}^{T} t_{i} y_{i}=40.17, \sqrt{\sum_{i=1}^{T}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}}=0.55, \sqrt{7} \approx 2.646$ ．
参考公式：相关系数 $r=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(t_{i}-\bar{t}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(t_{i}-\bar{t}\right)^{2} \sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}}}$ ，
回归方程 $\widehat{y}=\widehat{a}+\widehat{b} t$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
$\widehat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(t_{i}-\bar{t}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sum_{i=1}^{n}\left(t_{i}-\bar{t}\right)^{2}}, \widehat{a}=\bar{y}-\widehat{b} t$.

17、（本小题满分 13 分，（I）小问 10 分，（II）小问3分）
随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长。设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：

（I）求 y 关于 t 的回归方程 $\hat{y}=\hat{b} t+\hat{a}$
（II）用所求回归方程预测该地区 2015 年 $(t=6)$ 的人民币储蓄存款。
附：回归方程 $\hat{y}=\hat{b} t+\hat{a}$ 中

$ \left\{\begin{array}{c} b=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}-n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-n \bar{x}^{2}}, \\ a=\bar{y}-b \bar{x} . \end{array}\right. $

19．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x （单位：千元）对年销售量y（单位： t ）和年利润z（单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣传费 $x_{i}$ 和年销售量 $y_{i}(i=1,2, \ldots$ ，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

表中 $w_{i}=\sqrt{x_{i}}, \quad \bar{w}=\frac{1}{8} \sum_{i=1}^{8} w_{i}$
（I）根据散点图判断，$y=a+b x$ 与 $y=c+d \sqrt{x}$ 哪一个适宜作为年销售量 $y$ 关于年宣传费 x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（II）根据（I）的判断结果及表中数据，建立 $y$ 关于 $x$ 的回归方程；
（III）已知这种产品的年利润 $z$ 与 $x$ 、 $y$ 的关系为 $z=0.2 y-x$ 。根据（II）的结果回答下列问题：
（i）年宣传费 $\mathrm{x}=49$ 时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ii）年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据（ $\mathrm{u}_{1} \quad \mathrm{v}_{1}$ ），（ $\mathrm{u}_{2} \quad \mathrm{v}_{2}$ ）．．．．（ $\mathrm{u}_{\mathrm{n}} v_{n}$ ），其回归线 $v=\alpha+\beta u$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：$\widehat{\beta}=$

$ \frac{\sum_{i=1}^{n}\left(u_{i}-\bar{u}\right)\left(v_{i}-\bar{v}\right)}{\sum_{i=1}^{n}\left(u_{i}-\bar{u}\right)^{2}}, \quad \widehat{\alpha}=\bar{v}-\widehat{\beta} u . $

19．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x （单位：千元）对年销售量 $y$（单位：$t$ ）和年利润 $z$（单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣传费 $x_{i}$ 和年销售量 $y_{i}(i=1,2, \ldots, 8)$ 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

表中 $\mathrm{w}_{\mathrm{i}}=\sqrt{\mathrm{x}_{\mathrm{i}}}, \quad \overline{\mathrm{w}}=\frac{1}{8} \sum_{\mathrm{i}=1}^{8} \mathrm{w}_{\mathrm{i}}$
（I）根据散点图判断，$y=a+b x$ 与 $y=c+d \sqrt{x}$ 哪一个适宜作为年销售量 $y$ 关于年宣传费 x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（II）根据（I）的判断结果及表中数据，建立 $y$ 关于 $x$ 的回归方程；
（III）已知这种产品的年利润 $z$ 与 $x$ 、 $y$ 的关系为 $z=0.2 y-x$ 。根据（II）的结果回答下列问题：
（i）年宣传费 $\mathrm{x}=49$ 时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ii）年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据（ $\mathrm{u}_{1}$
$\left.v_{1}\right), \quad\left(u_{2}\right.$
$\left.v_{2}\right) \ldots . .\left(u_{n}\right.$
$v_{n}$ ），其回归线 $v=\alpha+\beta u$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：$\widehat{\beta}=$

$ \frac{\sum_{i=1}^{n}\left(u_{i}-\bar{u}\right)\left(v_{i}-\bar{v}\right)}{\sum_{i=1}^{n}\left(u_{i}-\bar{u}\right)^{2}}, \quad \widehat{\alpha}=\bar{v}-\widehat{\beta} u . $

4．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，得到如下统计数据表：

根据上表可得回归直线方程 $\hat{y}=\hat{b} x+\hat{a}$ ，其中 $\hat{b}=0.76, \hat{a}=\bar{y}-\hat{b} \bar{x}$ ，据此估计，该社区一户收入为 15 万元家庭年支出为

19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元的数据如表：

（I）求 y 关于 t 的线性回归方程；
（II）利用（I）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入。

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：$\widehat{\mathrm{b}}=$

$ \frac{\sum_{i=1}^{n}\left(t_{i}-\bar{t}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sum_{i=1}^{n}\left(t_{i}-\bar{t}\right)^{2}}, \hat{a}=\bar{y}-\widetilde{b} t $

3．已知变量 $x$ 与 $y$ 正相关，且由观测数据算得样本平均数 $\bar{x}=3, \bar{y}=3.5$ ，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是（
$A . \hat{y}=0.4 x+2.3$
B．$\hat{y}=2 x-2.4$
$C . \hat{y}=-2 x+9.5$
$C . \hat{y}=-0.3 x+4.4$

4．根据如下样本数据

得到的回归方程为 $\hat{y}=b x+a$ ，则
A．$a>0, b>0$
B．$a>0, b<0$
C．$a<0, b>0$
－D．$a<0, b<0$

6．根据如下样本数据：

得到的回归方程为 $\hat{y}=b x+a$ ，则

11．已知 $x$ 与 $y$ 之间的几组数据如下表：

假设根据上表数据所得线性回归直线方程为 $\dot{y}=\dot{b} x+\dot{a}$，若某同学根据上表

中的前两组数据 $(1,0)$ 和 $(2,2)$ 求得的直线方程为 $y^{\prime}=b^{\prime} x+a^{\prime}$，则以下结论正确的是

5．设某大学的女生体重 $y$（单位：$k g$ ）与身高 $x$（单位：$c m$ ）具有线性相关关系，根据一组样本数据 $\left(x_{i}, y_{i}\right)(i=1,2, \cdots, n)$ ，用最小二乘法建立的回归方程为 $\hat{y}=0.85 x-85.71$ ，则下列结论不正确的是

8．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取 5 对父子的身高数据如下：

则 y 对 x 的线性回归方程为

13．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月 1 号到 5 号
每天打篮球时间 $x$（单位：小时）与当天投篮命中率 $y$ 之间的关系：

小李这 5 天的平均投篮命中率为 $\_\_\_\_$
；用线性回归分析的方法，预测小李该月 6 号打 6 小时篮球的投篮命中率为 $\_\_\_\_$ ．

14．（5分）（2011 •辽宁）调查了某地若干户家庭的年收 x （单位：万元）和年饮食支出 y （单位：万元），调查显示年收入 x 与年饮食支出 y 具有线性相关关系，井由调查数据得到 y对 x 的回归直线方程 $\mathrm{y}=0.254 \mathrm{x}+0.321$ ．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加 1 万元，年饮食支出平均增加 $\_\_\_\_$ 0.254万元．

7．（3分）（2011•山东）某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表

根据上表可得回归方程 $\widehat{y}=\widehat{\mathrm{b}} x+\widehat{\mathrm{a}}$ 的 $\widehat{\mathrm{b}}$ 为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ）
A 63.6 万元
B 65.5 万元
C 67.7 万元
D 72.0 万元

9．设 $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right), \cdots$
，$\left(x_{n}, y_{n}\right)$ 是变量 $x$ 和 $y$ 的 $n$ 个样本点，直线 $l$ 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论正确的是（）

9．（5分）（2011•陕西）设 $\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}\right), ~\left(\mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_{2}\right), \ldots, ~\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}}, \mathrm{y}_{\mathrm{n}}\right)$ 是变量 x 和 y 的 n 个样本点，直线 1 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是（ ）

3．某商品销售量 $y$（件）与销售价格 $x$（元／件）负相关，则其回归方程可能是