设 A, B 为双曲线 x^ 2 - y^ 2 9 =1…——2023 高考数学第 12 题答案解析

【答案】D
【解析】
【分析】根据点差法分析可得 $k_{A B} \cdot k=9$ ，对于 $\mathrm{A} , \mathrm{~B} , \mathrm{D}$ ：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于 C：结合双曲线的渐近线分析判断。

【详解】设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，则 $A B$ 的中点 $M\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)$ ，可得 $k_{A B}=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}, k=\frac{\frac{y_{1}+y_{2}}{2}}{\frac{x_{1}+x_{2}}{2}}=\frac{y_{1}+y_{2}}{x_{1}+x_{2}}$ ，

因为 $A, B$ 在双曲线上，则 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}^{2}-\frac{y_{1}^{2}}{9}=1 \\ x_{2}^{2}-\frac{y_{2}^{2}}{9}=1\end{array}\right.$ ，两式相减得 $\left(x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\right)-\frac{y_{1}^{2}-y_{2}^{2}}{9}=0$ ，
所以 $k_{A B} \cdot k=\frac{y_{1}^{2}-y_{2}^{2}}{x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}=9$ ．
对于选项 $\mathrm{A}: ~$ 可得 $k=1, k_{A B}=9$ ，则 $A B: y=9 x-8$ ，
联立方程 $\left\{\begin{array}{l}y=9 x-8 \\ x^{2}-\frac{y^{2}}{9}=1\end{array}\right.$ ，消去 $y$ 得 $72 x^{2}-2 \times 72 x+73=0$ ，
此时 $\Delta=(-2 \times 72)^{2}-4 \times 72 \times 73=-288<0$ ，
所以直线 $A B$ 与双曲线没有交点，故 A 错误；
对于选项 B ：可得 $k=-2, k_{A B}=-\frac{9}{2}$ ，则 $A B: y=-\frac{9}{2} x-\frac{5}{2}$ ，
联立方程 $\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{9}{2} x-\frac{5}{2} \\ x^{2}-\frac{y^{2}}{9}=1\end{array}\right.$ ，消去 $y$ 得 $45 x^{2}+2 \times 45 x+61=0$ ，
此时 $\Delta=(2 \times 45)^{2}-4 \times 45 \times 61=-4 \times 45 \times 16<0$ ，
所以直线 $A B$ 与双曲线没有交点，故 B 错误；
对于选项 C ：可得 $k=3, k_{A B}=3$ ，则 $A B: y=3 x$
由双曲线方程可得 $a=1, b=3$ ，则 $A B: y=3 x$ 为双曲线的渐近线，
所以直线 $A B$ 与双曲线没有交点，故 C 错误；
对于选项 D：$k=4, k_{A B}=\frac{9}{4}$ ，则 $A B: y=\frac{9}{4} x-\frac{7}{4}$ ，
联立方程 $\left\{\begin{array}{l}y=\frac{9}{4} x-\frac{7}{4} \\ x^{2}-\frac{y^{2}}{9}=1\end{array}\right.$ ，消去 $y$ 得 $63 x^{2}+126 x-193=0$ ，
此时 $\Delta=126^{2}+4 \times 63 \times 193>0$ ，故直线 $A B$ 与双曲线有交两个交点，故 D 正确；
故选：D．