2008 全国高考数学 2008_旧全国 II 卷 (2008·文) 第 15 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

15．（5分）已知 $F$ 是抛物线 $C$ ：$y^{2}=4 x$ 的焦点，$A, B$ 是 $C$ 上的两个点，线段 $A B$ 的中点为 $\mathrm{M}(2,2)$ ，则 $	riangle \mathrm{ABF}$ 的面积等于 $\_\_\_\_$ 2 ．

Accepted Answer

2

【考点】K8：抛物线的性质． 【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】设 $A\left(x_{1}, y_{1}ight), B\left(x_{2}, y_{2}ight)$ ，则 $y_{1}^{2}=4 x_{1}, y_{2}^{2}=4 x_{2}$ ，两式相减可得： $\left(y_{1}+y_{2}ight)\left(y_{1}-y_{2}ight)=4\left(x_{1}-x_{2}ight)$ ，利用中点坐标公式、斜率计算公式可得 $k_{A}$ B，可得直线 $A B$ 的方程为：$y-2=x-2$ ，化为 $y=x$ ，与抛物线方程联立可得 $A$ ， $B$ 的坐标，利用弦长公式可得 $|A B|$ ，再利用点到直线的距离公式可得点 $F$ 到直线 $A B$ 的距离 $d$ ，利用三角形面积公式求得答案。 【解答】解：$\because F$ 是抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的焦点，$	herefore F(1,0)$ ． 设 $A\left(x_{1}, y_{1}ight), B\left(x_{2}, y_{2}ight)$ ，则 $y_{1}^{2}=4 x_{1}, y_{2}^{2}=4 x_{2}$ ， 两式相减可得：$\left(y_{1}+y_{2}ight)\left(y_{1}-y_{2}ight)=4\left(x_{1}-x_{2}ight)$ ， ∵ 线段 $A B$ 的中点为 $M(2,2), ~ 	herefore y_{1}+y_{2}=2 	imes 2=4$ ， 又 $\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=k_{A B}$ ， $4 k_{A B}=4$ ，解得 $k_{A B}=1$ ， ∴ 直线 $A B$ 的方程为：$y-2=x-2$ ，化为 $y=x$ ， 联立 $\left\{\begin{array}{l}y=x \ y^{2}=4 x\end{array}ight.$ ，解得 $\left\{\begin{array}{l}x=0 \ y=0\end{array},\left\{\begin{array}{l}x=4 \ y=4\end{array}ight.ight.$ ， $	herefore|\mathrm{AB}|=\sqrt{4^{2}+4^{2}}=4 \sqrt{2}$ ． 点 F 到直线 AB 的距离 $\mathrm{d}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ ， $	herefore S_{	riangle A B F}=\frac{1}{2}|A B| \cdot d=\frac{1}{2} 	imes 4 \sqrt{2} 	i…

2008 高考数学第 15 题答案解析

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