（5分）已知 F 是抛物线 C： y^ 2 =4 x 的焦…——2008 高考数学第 15 题答案解析

【考点】K8：抛物线的性质．
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，则 $y_{1}^{2}=4 x_{1}, y_{2}^{2}=4 x_{2}$ ，两式相减可得： $\left(y_{1}+y_{2}\right)\left(y_{1}-y_{2}\right)=4\left(x_{1}-x_{2}\right)$ ，利用中点坐标公式、斜率计算公式可得 $k_{A}$ B，可得直线 $A B$ 的方程为：$y-2=x-2$ ，化为 $y=x$ ，与抛物线方程联立可得 $A$ ， $B$ 的坐标，利用弦长公式可得 $|A B|$ ，再利用点到直线的距离公式可得点 $F$ 到直线 $A B$ 的距离 $d$ ，利用三角形面积公式求得答案。

【解答】解：$\because F$ 是抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的焦点，$\therefore F(1,0)$ ．
设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，则 $y_{1}^{2}=4 x_{1}, y_{2}^{2}=4 x_{2}$ ，
两式相减可得：$\left(y_{1}+y_{2}\right)\left(y_{1}-y_{2}\right)=4\left(x_{1}-x_{2}\right)$ ，
∵ 线段 $A B$ 的中点为 $M(2,2), ~ \therefore y_{1}+y_{2}=2 \times 2=4$ ，
又 $\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=k_{A B}$ ，
$4 k_{A B}=4$ ，解得 $k_{A B}=1$ ，
∴ 直线 $A B$ 的方程为：$y-2=x-2$ ，化为 $y=x$ ，
联立 $\left\{\begin{array}{l}y=x \\ y^{2}=4 x\end{array}\right.$ ，解得 $\left\{\begin{array}{l}x=0 \\ y=0\end{array},\left\{\begin{array}{l}x=4 \\ y=4\end{array}\right.\right.$ ，
$\therefore|\mathrm{AB}|=\sqrt{4^{2}+4^{2}}=4 \sqrt{2}$ ．
点 F 到直线 AB 的距离 $\mathrm{d}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ ，
$\therefore S_{\triangle A B F}=\frac{1}{2}|A B| \cdot d=\frac{1}{2} \times 4 \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}}=2$ ，
故答案为： 2 ．
【点评】本题主要考查了直线与抛物线相交问题弦长问题、＂点差法＂、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题。