中点弦问题　·　历年高考数学真题与解析

11．设 $A, B$ 为双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{9}=1$ 上两点，下列四个点中，可为线段 $A B$ 中点的是（ ）

12．设 $A, B$ 为双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{9}=1$ 上两点，下列四个点中，可为线段 $A B$ 中点的是（ ）

16．已知直线 $l$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 在第一象限交于 $A, B$ 两点，$l$ 与 $x$ 轴，$y$ 轴分别交于 $M, N$ 两点，且 $|M A|=|N B|,|M N|=2 \sqrt{3}$ ，则 $l$ 的方程为

20．（12分）已知斜率为 $k$ 的直线 $\mid$ 与椭圆 $C: \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 交于 $A, B$ 两点，线段 $A B$的中点为 $\mathrm{M}(1, \mathrm{~m})(\mathrm{m}>0)$ ．
（1）证明： $\mathrm{k}<-\frac{1}{2}$ ；
②设 F 为 C 的右焦点， P 为 C 上一点，且 $\overrightarrow{\mathrm{FP}}+\overrightarrow{\mathrm{FA}}+\overrightarrow{\mathrm{FB}}=\overrightarrow{0}$ ，证明： $2|\overrightarrow{\mathrm{FP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{FA}}|+\mid \overrightarrow{\mathrm{FB}}$

I．

20．（12分）已知斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ ：$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 交于 $A, B$ 两点，线段 $A B$的中点为 $M(1, m)(m>0)$ ．
（1）证明： $\mathrm{k}<-\frac{1}{2}$ ；
②设 F 为 C 的右焦点， P 为 C 上一点，且 $\overrightarrow{\mathrm{FP}}+\overrightarrow{\mathrm{FA}}+\overrightarrow{\mathrm{FB}}=\overrightarrow{0}$ ．证明：$|\overrightarrow{\mathrm{FA}}|,|\overrightarrow{\mathrm{FP}}|, \mid \overrightarrow{\mathrm{FB}} \mid$ 成等差数列，并求该数列的公差。

20、（本小题满分 13 分）
已知椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点 $P\left(\sqrt{3}, \frac{1}{2}\right)$ 在椭圆 $E$ 上。
（I）求椭圆 $E$ 的方程；
（II）设不过原点 $O$ 且斜率为 $\frac{1}{2}$ 的直线 $l$ 与椭圆 E 交于不同的两点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ ，线段 AB 的中点为 M ，直线 OM 与椭圆 E 交于 C，D，证明：$|M A| \cdot|M B|=|M C| \cdot|M D|$ 。

15．过点 $M(1,1)$ 作斜率为 $-\frac{1}{2}$ 的直线与椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 相交于 $A, B$ ，若．$M$ 是线段 $A B$ 的中点，则椭圆 $C$ 的离心率为 $\_\_\_\_$

10．（5分）已知陏圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F(3,0)$ ，过点 $F$ 的直线交椭圆 $E$ 于 $A , B$ 两点．若 $A B$ 的中点坐标为 $(1,-1)$ ，则 $E$ 的方程为

20．（12分）平面直角坐标系 $x O y$ 中，过椭圆 $M: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 右焦点的直线 $x+y-\sqrt{3}=0$ 交 $M$ 于 $A$ ，$B$ 两点，$P$ 为 $A B$ 的中点，且 $O P$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$ ．
（I）求M的方程
（II）$C, D$ 为 $M$ 上的两点，若四边形 $A C B D$ 的对角线 $C D \perp A B$ ，求四边形 $A C B D$ 面积的最大值．

（13）设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点为 $\mathrm{F}(1,0)$ ，直线 l 与抛物线 C 相交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点 －若 AB 的中点为 $(2,2)$ ，则直线 $\boldsymbol{l}$ 的方程为 $\_\_\_\_$。

（14）已知抛物线 C 的顶点坐标为原点，焦点在 x 轴上，直线 $\mathrm{y}=\mathrm{x}$ 与抛物线 C 交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点 ，若 $P(2,2)$ 为 $A B$ 的中点，则抛物线 C 的方程为 $\_\_\_\_$。

15．（5分）已知 $F$ 是抛物线 $C$ ：$y^{2}=4 x$ 的焦点，$A, B$ 是 $C$ 上的两个点，线段 $A B$ 的中点为 $\mathrm{M}(2,2)$ ，则 $\triangle \mathrm{ABF}$ 的面积等于 $\_\_\_\_$ 2 ．

19．（本小题共14分）
已知菱形 $A B C D$ 的顶点 $A, C$ 在椭圆 $x^{2}+3 y^{2}=4$ 上，对角线 $B D$ 所在直线的斜率为 1 ．
（I）当直线 $B D$ 过点 $(0,1)$ 时，求直线 $A C$ 的方程；
（II）当 $\angle A B C=60^{\circ}$ 时，求菱形 $A B C D$ 面积的最大值．

20．（本小题满分 13 分）
若 $A , B$ 是抛物线 $y^{2}=4 x$ 上的不同两点，弦 AB （不平行于 $y$ 轴）的垂直平分线与 $x$ 轴相交于点 $P$ ，则称弦 $A B$ 是点 $P$ 的一条＂相关弦＂。已知当 $x>2$ 时，点 $P(x, 0)$存在无穷多条＂相关弦＂。给定 $x_{0}>2$ 。
（I）证明：点 $P\left(x_{0}, 0\right)$ 的所有＂相关弦＂中的中点的横坐标相同；
（II）试问：点 $\mathrm{P}\left(x_{0}, 0\right)$ 的＂相关弦＂的弦长中是否存在最大值？
若存在，求其最大值（用 $x_{0}$ 表示）：若不存在，请说明理由．