（5分）已知陏圆 E: x^ 2 a^ 2 + y^ 2…——2013 高考数学第 10 题答案解析

【考点】K3：椭圆的标准方程．
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，代入椭圆方程得 $\left\{\begin{array}{l}\frac{x_{1}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}}=1 \\ \frac{x_{2}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{2}^{2}}{b^{2}}=1\end{array}\right.$ ，利用＂点差法＂可得 $\frac{x_{1}+x_{2}}{a^{2}}+\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}} \cdot \frac{y_{1}+y_{2}}{b^{2}}=0$ ．利用中点坐标公式可得 $x_{1}+x_{2}=2, y_{1}+y_{2} =-2$ ，利用斜率计算公式可得 $k_{A B}=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{-1-0}{1-3}=\frac{1}{2}$ ．于是得到
$\frac{2}{a^{2}}+\frac{1}{2} \times \frac{-2}{b^{2}}=0$ ，化为 $a^{2}=2 b^{2}$ ，再利用 $c=3=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$ ，即可解得 $a^{2}, ~ b^{2}$ 。进而得到椭圆的方程．

【解答】解：设 $A\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}\right)$ ，$B\left(\mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_{2}\right)$ ，
代入椭圆方程得 $\left\{\begin{array}{l}\frac{x_{1}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}}=1 \\ \frac{x_{2}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{2}^{2}}{b^{2}}=1\end{array}\right.$ ，
相减得 $\frac{x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{1}^{2}-y_{2}^{2}}{b^{2}}=0$ ，
$\therefore \frac{x_{1}+x_{2}}{a^{2}}+\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}} \cdot \frac{y_{1}+y_{2}}{b^{2}}=0$ ．
$\because x_{1}+x_{2}=2, \quad y_{1}+y_{2}=-2, \quad k_{A B}=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{-1-0}{1-3}=\frac{1}{2}$.

$\therefore \frac{2}{a^{2}}+\frac{1}{2} \times \frac{-2}{b^{2}}=0$ ，
化为 $a^{2}=2 b^{2}$ ，又 $c=3=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$ ，解得 $a^{2}=18, ~ b^{2}=9$ ．
∴ 椭圆 E 的方程为 $\frac{\mathrm{x}^{2}}{18}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{9}=1$ ．
故选：D．
【点评】熟练掌握＂点差法＂和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键．