2023_江苏卷 (2023·物理)
15．如图所示，滑雪道 AB 由坡道和水平道组成，且平滑连接，坡道倾角均为45°。平台 BC 与缓冲坡 CD相连。若滑雪者从 $P$ 点由静止开始下滑，恰好到达 $B$ 点。滑雪者现从 $A$ 点由静止开始下滑，从 $B$ 点飞出。已知 $A , P$ 间的距离为 $d$ ，滑雪者与滑道间的动摩擦因数均为 $\mu$ ，重力加速度为 $g$ ，不计空气阻力。
（1） 求滑雪者运动到 $P$ 点的时间 $t$ ；
（2） 求滑雪者从 $B$ 点飞出的速度大小 $v$ ；
（3） 若滑雪者能着陆在缓冲坡 CD 上，求平台 BC 的最大长度 $L$ 。
【答案】①$t=\sqrt{\frac{2 \sqrt{2} d}{g(1-\mu)}}$ ；②$\sqrt{\sqrt{2} g d(1-\mu)}$ ；③$\sqrt{2} d(1-\mu)$
【解析】
【详解】（1）滑雪者从 $A$ 到 $P$ 根据动能定理有
$$ m g d \sin 45^{\circ}-\mu m g \cos 45^{\circ} d=\frac{1}{2} m v_{\mathrm{P}}^{2}-0 $$
根据动量定理有
$$
\left(m g \sin 45^{\circ}-\mu m g \cos 45^{\circ}\right) t=m v_{\mathrm{p}}-0
$$
联立解得
$$
\begin{aligned}
t & =\sqrt{\frac{2 \sqrt{2} d}{g(1-\mu)}} \\
v_{\mathrm{P}} & =\sqrt{\sqrt{2} g d(1-\mu)}
\end{aligned}
$$
②由于滑雪者从 $P$ 点由静止开始下滑,恰好到达 $B$ 点,故从 $P$ 点到 $B$ 点合力做功为0,所以当从 $A$ 点下滑时,到达 $B$ 点有
$$
v_{\mathrm{B}}=v_{\mathrm{P}}=\sqrt{\sqrt{2} g d(1-\mu)}
$$
（3）当滑雪者刚好落在 $C$ 点时,平台 BC 的长度最大；滑雪者从 $B$ 点飞出做斜抛运动,坚直方向上有
$$
v_{\mathrm{P}} \cos 45^{\circ}=g \times \frac{t}{2}
$$
水平方向上有
$$
L=v_{\mathrm{P}} \sin 45^{\circ} \cdot t
$$
联立可得
$$
L=\sqrt{2} d(1-\mu)
$$