【选修4－1几何证明选讲】 如图， C D 为 A B C…——2013 高考数学第 22 题答案解析

【考点】NC：与圆有关的比例线段．
【专题】5B：直线与圆．
【分析】（1）已知 $C D$ 为 $\triangle A B C$ 外接圆的切线，利用弦切角定理可得 $\angle D C B=\angle A$ ，及 $\mathrm{BC} \cdot \mathrm{AE}=\mathrm{DC} \cdot \mathrm{AF}$ ，可知 $\triangle \mathrm{CDB} \sim \triangle \mathrm{AEF}$ ，于是 $\angle \mathrm{CBD}=\angle \mathrm{AFE}$ ．

利用 $B$ 、 $E$ 、 $F$ 、 $C$ 四点共圆，可得 $\angle C F E=\angle D B C$ ，进而得到 $\angle C F E=\angle A F E=90^{\circ}$ 即可证明 $C A$ 是 $\triangle A B C$ 外接圆的直径；
（2）要求过 $B , E , F , C$ 四点的圆的面积与 $\triangle A B C$ 外接圆面积的比值．只需求出其外接圆的直径的平方之比即可．由过 $B$ 、 $E$ 、 $F$ 、 $C$ 四点的圆的直径为 $C E$ ，及 $D B=B E$ ，可得 $C E=D C$ ，利用切割线定理可得 $D C^{2}=D B \bullet D A, ~ C A^{2}=C B^{2}+B A^{2}$ ，都用 $D$ B表示即可。

【解答】（1）证明：$\because C D$ 为 $\triangle A B C$ 外接圆的切线，$\therefore \angle D C B=\angle A$ ，
$\because \mathrm{BC} \cdot \mathrm{AE}=\mathrm{DC} \cdot \mathrm{AF}, \quad \therefore \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{FA}}=\frac{\mathrm{DC}}{\mathrm{EA}}$ ．
$\therefore \triangle C D B \sim \triangle A E F, \quad \therefore \angle C B D=\angle A F E$.
$\because B , E , F , C$ 四点共圆，$\therefore \angle C F E=\angle D B C, \therefore \angle C F E=\angle A F E=90^{\circ}$ ．
$\therefore \angle \mathrm{CBA}=90^{\circ}, \therefore \mathrm{CA}$ 是 $\triangle \mathrm{ABC}$ 外接圆的直径；
（2）连接CE，$\because \angle \mathrm{CBE}=90^{\circ}$ ，
∴ 过 $B , E , F , C$ 四点的圆的直径为 $C E$ ，由 $D B=B E$ ，得 $C E=D C$ ，
又 $\mathrm{BC}^{2}=\mathrm{DB} \bullet \mathrm{BA}=2 \mathrm{DB}^{2}$ ，
$\therefore C A^{2}=4 D^{2}+B C^{2}=6 D B^{2}$ ．
而 $\mathrm{DC}^{2}=\mathrm{DB} \bullet \mathrm{DA}=3 \mathrm{DB}^{2}$ ，
故过 $B$ 、 $E$ 、 $F$ 、 $C$ 四点的圆的面积与 $\triangle A B C$ 面积的外接圆的面积比值 $=\frac{C E^{2}}{A C^{2}}=$

$\frac{3 \mathrm{DB}^{2}}{6 \mathrm{DB}^{2}}=\frac{1}{2}$.
【点评】熟练掌握弦切角定理、相似三角形的判定与性质、四点共圆的性质、直径的判定、切割线定理、勾股定理等腰三角形的性质是解题的关键．