【答案】（1） 16；②$\left\{a_{n}\right\}$ 不具有性质 P，理由见解析；③见解析。
【解析】
试题分析：（1）根据已知条件，得到 $a_{6}+a_{7}+a_{8}=a_{3}+3+2$，结合 $a_{6}+a_{7}+a_{8}=21$ 求解即可．
（2）根据 $\left\{b_{n}\right\}$ 的公差为 $20,\left\{c_{n}\right\}$ 的公比为 $\frac{1}{3}$，写出通项公式，从而可得 $a_{n}=b_{n}+c_{n}=20 n-19+3^{5-n}$.
通过计算 $a_{1}=a_{5}=82, a_{2}=48, a_{6}=\frac{304}{3}, a_{2} \neq a_{6}$，即知 $\left\{a_{n}\right\}$ 不具有性质 P．
（3）从充分性、必要性两方面加以证明，其中必要性用反证法证明．
试题解析：（1）因为 $a_{5}=a_{2}$，所以 $a_{6}=a_{3}, a_{7}=a_{4}=3, a_{8}=a_{5}=2$．
于是 $a_{6}+a_{7}+a_{8}=a_{3}+3+2$，又因为 $a_{6}+a_{7}+a_{8}=21$，解得 $a_{3}=16$．
②$\left\{b_{n}\right\}$ 的公差为 $20,\left\{c_{n}\right\}$ 的公比为 $\frac{1}{3}$，
所以 $b_{n}=1+20(n-1)=20 n-19, c_{n}=81 \cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=3^{5-n}$．
$a_{n}=b_{n}+c_{n}=20 n-19+3^{5-n}$.
$a_{1}=a_{5}=82$，但 $a_{2}=48, a_{6}=\frac{304}{3}, a_{2} \neq a_{6}$，
所以 $\left\{a_{n}\right\}$ 不具有性质 P。
［证］（3）充分性：
当 $\left\{b_{n}\right\}$ 为常数列时，$a_{n+1}=b_{1}+\sin a_{n}$．
对任意给定的 $a_{1}$，只要 $a_{p}=a_{q}$，则由 $b_{1}+\sin a_{p}=b_{1}+\sin a_{q}$，必有 $a_{p+1}=a_{q+1}$．
充分性得证．
必要性：
用反证法证明．假设 $\left\{b_{n}\right\}$ 不是常数列，则存在 $k \in \mathrm{~N}^{*}$，
使得 $b_{1}=b_{2}=\cdots=b_{k}=b$，而 $b_{k+1} \neq b$．
下面证明存在满足 $a_{n+1}=b_{n}+\sin a_{n}$ 的 $\left\{a_{n}\right\}$，使得 $a_{1}=a_{2}=\cdots=a_{k+1}$，但 $a_{k+2} \neq a_{k+1}$．
设 $f(x)=x-\sin x-b$，取 $m \in \mathrm{~N}^{*}$，使得 $m \pi>|b|$，则
$f(m \pi)=m \pi-b>0, f(-m \pi)=-m \pi-b<0$，故存在 $c$ 使得 $f(c)=0$．
取 $a_{1}=c$，因为 $a_{n+1}=b+\sin a_{n}(1 \leq n \leq k)$，所以 $a_{2}=b+\sin c=c=a_{1}$，
依此类推，得 $a_{1}=a_{2}=\cdots=a_{k+1}=c$．
但 $a_{k+2}=b_{k+1}+\sin a_{k+1}=b_{k+1}+\sin c \neq b+\sin c$，即 $a_{k+2} \neq a_{k+1}$．
所以 $\left\{a_{n}\right\}$ 不具有性质 P，矛盾．
必要性得证．
综上，＂对任意 $a_{1},\left\{a_{n}\right\}$ 都具有性质 P ＂的充要条件为＂$\left\{b_{n}\right\}$ 是常数列＂。
考点：1．等差数列、等比数列的通项公式；2．充要条件的证明；3．反证法．