反证法高考真题解析

15.关于定义域为R的函数f(x)，以下说法正确的有

①存在在R上单调递增的函数f(x)使得 $f ( x ) + f ( 2 x ) = - x$ 恒成立；

②存在在R上单调递减的函数f(x)使得 $f ( x ) + f ( 2 x ) = - x$ 恒成立；

③使得 $f ( x ) + f ( - x ) = \cos x$ 恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个；

④使得 $f ( x ) - f ( - x ) = \cos x$ 恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个.

15．关于定义域为 $\mathbf{R}$ 的函数 $f(x)$ ，给出下列四个结论：
①存在在 $\mathbf{R}$ 上单调递增的函数 $f(x)$ 使得 $f(x)+f(2 x)=-x$ 恒成立；
②存在在 $\mathbf{R}$ 上单调递减的函数 $f(x)$ 使得 $f(x)-f(2 x)=x$ 恒成立；

③使得 $f(x)+f(-x)=\cos x$ 恒成立的函数 $f(x)$ 存在且有无穷多个；
④使得 $f(x)-f(-x)=\cos x$ 恒成立的函数 $f(x)$ 存在且有无穷多个．
其中正确结论的序号是 $\_\_\_\_$。

21．已知数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 的项数均为 $m(m>2)$ ，且 $a_{n}, b_{n} \in\{1,2, \cdots, m\},\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $A_{n}, B_{n}$ ，并规定 $A_{0}=B_{0}=0$ 。对于 $k \in\{0,1,2, \cdots, m\}$ ，定义 $r_{k}=\max \left\{i \mid B_{i} \leq A_{k}, i \in\{0,1,2, \cdots, m\}\right\}$ ，其中， $\max M$ 表示数集 $M$ 中最大的数．
（1）若 $a_{1}=2, a_{2}=1, a_{3}=3, b_{1}=1, b_{2}=3, b_{3}=3$ ，求 $r_{0}, r_{1}, r_{2}, r_{3}$ 的值；
（2）若 $a_{1} \geq b_{1}$ ，且 $2 r_{j} \leq r_{j+1}+r_{j-1}, j=1,2, \cdots, m-1$ ，求 $r_{n}$ ；
（3）证明：存在 $p, q, s, t \in\{0,1,2, \cdots, m\}$ ，满足 $p>q, s>t$ ，使得 $A_{p}+B_{t}=A_{q}+B_{s}$ ．

6．设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公差不为 0 的无穷等差数列，则＂$\left\{a_{n}\right\}$ 为递增数列＂是＂存在正整数 $N_{0}$ ，当 $n>N_{0}$ 时，$a_{n}>0$＂的（ ）

15．己知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 各项均为正数，其前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $a_{n} \cdot S_{n}=9(n=1,2, \cdots)$ 。给出下列四个结论：
①$\left\{a_{n}\right\}$ 的第 2 项小于 3；
②$\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列；
③$\left\{a_{n}\right\}$ 为递减数列；
④$\left\{a_{n}\right\}$ 中存在小于 $\frac{1}{100}$ 的项．

其中所有正确结论的序号是 $\_\_\_\_$ ．

15．已知平面 $\alpha , \beta , \gamma$ 两两垂直，直线 $a , b , c$ 满足：$a \subseteq \alpha, b \subseteq \beta, c \subseteq \gamma$ ，则直线 $a , b , c$ 不可能是（ ）

23．设 $x, y, z \in R$ ，且 $x+y+z=1$ ．
（1）求 $(x-1)^{2}+(y+1)^{2}+(z+1)^{2}$ 的最小值；

（2）若 $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}+(z-a)^{2} \geq \frac{1}{3}$ 成立，证明：$a \leqslant-3$ 或 $a \geq-1$ ．

23．设 $x, y, z \in R$ ，且 $x+y+z=1$ ．
（1）求 $(x-1)^{2}+(y+1)^{2}+(z+1)^{2}$ 的最小值；
（2）若 $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}+(z-a)^{2} \geq \frac{1}{3}$ 成立，证明：$a \leqslant-3$ 或 $a \geq-1$ ．

13．（5 分）能够说明＂设 $a, b, c$ 是任意实数．若 $a>b>c$ ，则 $a+b>c$＂是假命题的一组整数 $a, b, c$ 的值依次为 $\_\_\_\_$ $-1,-2,-3$ ．

13．（5 分）能够说明＂设 $a, b, c$ 是任意实数．若 $a>b>c$ ，则 $a+b>c$＂是假命题

的一组整数 $a, b, c$ 的值依次为 $\_\_\_\_$ $-1,-2,-3$ ．

23．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分。

若无穷数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足：只要 $a_{p}=a_{q}\left(p, q \in \mathrm{~N}^{*}\right)$，必有 $a_{p+1}=a_{q+1}$，则称 $\left\{a_{n}\right\}$ 具有性质 P。
（1）若 $\left\{a_{n}\right\}$ 具有性质 P，且 $a_{1}=1, a_{2}=2, a_{4}=3, a_{5}=2, a_{6}+a_{7}+a_{8}=21$，求 $a_{3}$；
（2）若无穷数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是等差数列，无穷数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 是公比为正数的等比数列，$b_{1}=c_{5}=1$， $b_{5}=c_{1}=81, a_{n}=b_{n}+c_{n}$，判断 $\left\{a_{n}\right\}$ 是否具有性质 P，并说明理由；
③设 $\left\{b_{n}\right\}$ 是无穷数列，已知 $a_{n+1}=b_{n}+\sin a_{n}\left(n \in \mathrm{~N}^{*}\right)$。求证：＂对任意 $a_{1},\left\{a_{n}\right\}$ 都具有性质 P ＂的充要条件为＂$\left\{b_{n}\right\}$ 是常数列＂．

6．（5分）（2015 •广东）若直线 $1_{1}$ 和 $1_{2}$ 是异面直线， $1_{1}$ 在平面 $\alpha$ 内， $1_{2}$ 在平面 $\beta$ 内， 1 是平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 的交线，则下列命题正确的是

4．（5分）已知 $m$ ，$n$ 为异面直线，$m \perp$ 平面 $\alpha, n \perp$ 平面 $\beta$ ．直线 $k$ 满足 $|\perp m,| \perp n$ ，$I \not \subset \alpha$ ，$I \not \subset \beta$ ，则（ ）

（12）某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是 $\_\_\_\_$。

正（主）衩圈

解（左）栱區

德根图

第（12）题目