反证法高考真题解析

21．设集合 $M=\{(i, j, s, t)|i \in\{1,2\}, j \in\{3,4\}, s \in\{5,6\}, t \in\{7,8\}, 2|(i+j+s+t)\}$ ．对于给定有穷数列 $A:\left\{a_{n}\right\}(1 \leq n \leq 8)$ ，及序列 $\Omega: \omega_{1}, \omega_{2}, \ldots, \omega_{s}, \omega_{k}=\left(i_{k}, j_{k}, s_{k}, t_{k}\right) \in M$ ，定义变换 $T:$ 将数列 A 的第 $i_{1}, j_{1}, s_{1}, t_{1}$ 项加 1 ，得到数列 $T_{1}(A)$ ；将数列 $T_{1}(A)$ 的第 $i_{2}, j_{2}, s_{2}, t_{2}$ 列加1，得到数列 $T_{2} T_{1}(A) \ldots$ ；重复上述操作，得到数列 $T_{s} \ldots T_{2} T_{1}(A)$ ，记为 $\Omega(A)$ ．
（1）给定数列 $A: 1,3,2,4,6,3,1,9$ 和序列 $\Omega:(1,3,5,7),(2,4,6,8),(1,3,5,7)$ ，写出 $\Omega(A)$ ；
（2）是否存在序列 $\Omega$ ，使得 $\Omega(A)$ 为 $a_{1}+2, a_{2}+6, a_{3}+4, a_{4}+2, a_{5}+8, a_{6}+2, a_{7}+4, a_{8}+4$ ，若存在，写出一个符合条件的 $\Omega$ ；若不存在，请说明理由；
（3）若数列 A 的各项均为正整数，且 $a_{1}+a_{3}+a_{5}+a_{7}$ 为偶数，证明：＂存在序列 $\Omega$ ，使得 $\Omega(A)$ 为常数

列＂的充要条件为＂$a_{1}+a_{2}=a_{3}+a_{4}=a_{5}+a_{6}=a_{7}+a_{8}$＂．

21．已知数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 的项数均为 $m(m>2)$ ，且 $a_{n}, b_{n} \in\{1,2, \cdots, m\},\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $A_{n}, B_{n}$ ，并规定 $A_{0}=B_{0}=0$ 。对于 $k \in\{0,1,2, \cdots, m\}$ ，定义 $r_{k}=\max \left\{i \mid B_{i} \leq A_{k}, i \in\{0,1,2, \cdots, m\}\right\}$ ，其中， $\max M$ 表示数集 $M$ 中最大的数．
（1）若 $a_{1}=2, a_{2}=1, a_{3}=3, b_{1}=1, b_{2}=3, b_{3}=3$ ，求 $r_{0}, r_{1}, r_{2}, r_{3}$ 的值；
（2）若 $a_{1} \geq b_{1}$ ，且 $2 r_{j} \leq r_{j+1}+r_{j-1}, j=1,2, \cdots, m-1$ ，求 $r_{n}$ ；
（3）证明：存在 $p, q, s, t \in\{0,1,2, \cdots, m\}$ ，满足 $p>q, s>t$ ，使得 $A_{p}+B_{t}=A_{q}+B_{s}$ ．

15．己知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 各项均为正数，其前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $a_{n} \cdot S_{n}=9(n=1,2, \cdots)$ 。给出下列四个结论：
①$\left\{a_{n}\right\}$ 的第 2 项小于 3；
②$\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列；
③$\left\{a_{n}\right\}$ 为递减数列；
④$\left\{a_{n}\right\}$ 中存在小于 $\frac{1}{100}$ 的项．

其中所有正确结论的序号是 $\_\_\_\_$ ．

21．设函数 $f(x)=x^{3}+b x+c$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(\frac{1}{2}, f\left(\frac{1}{2}\right)\right)$ 处的切线与 $y$ 轴垂直．
（1）求 $b$ ．
（2）若 $f(x)$ 有一个绝对值不大于 1 的零点，证明：$f(x)$ 所有零点的绝对值都不大于 1 ．

20．（13 分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，从中选取第 $i_{1}$ 项、第 $i_{2}$ 项、⋯、第 $i_{m}$ 项 $\left(i_{1}（I）写出数列 $1,8,3,7,5,6,9$ 的一个长度为 4 的递增子列；
（II）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的长度为 $p$ 的递增子列的末项的最小值为 $a \mathrm{~m}_{0}$ ，长度为 $q$ 的递增子列的末项的最小值为 $a \mathrm{n}_{0}$ ．若 $p（III）设无穷数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若 $\left\{a_{n}\right\}$ 的长度为 $s$ 的递增子列末项的最小值为 $2 s-1$ ，且长度为 $s$ 末项为 $2 s-1$ 的递增子列恰有 $2^{s-1}$ 个 $(s=1$ ， $2, \cdots)$ ，求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式．

23．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分。

若无穷数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足：只要 $a_{p}=a_{q}\left(p, q \in \mathrm{~N}^{*}\right)$，必有 $a_{p+1}=a_{q+1}$，则称 $\left\{a_{n}\right\}$ 具有性质 P。
（1）若 $\left\{a_{n}\right\}$ 具有性质 P，且 $a_{1}=1, a_{2}=2, a_{4}=3, a_{5}=2, a_{6}+a_{7}+a_{8}=21$，求 $a_{3}$；
（2）若无穷数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是等差数列，无穷数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 是公比为正数的等比数列，$b_{1}=c_{5}=1$， $b_{5}=c_{1}=81, a_{n}=b_{n}+c_{n}$，判断 $\left\{a_{n}\right\}$ 是否具有性质 P，并说明理由；
③设 $\left\{b_{n}\right\}$ 是无穷数列，已知 $a_{n+1}=b_{n}+\sin a_{n}\left(n \in \mathrm{~N}^{*}\right)$。求证：＂对任意 $a_{1},\left\{a_{n}\right\}$ 都具有性质 P ＂的充要条件为＂$\left\{b_{n}\right\}$ 是常数列＂．

20．（16分）（2015•江苏）设 $a_{1}, a_{2}, a_{3} . a_{4}$ 是各项为正数且公差为 $d(d \neq 0)$ 的等差数列
（1）证明： $2^{a_{1}}, 2^{a_{2}}, 2^{a_{3}}, 2^{a_{4}}$ 依次构成等比数列；
（2）是否存在 $a_{1}, d$ ，使得 $a_{1}, a_{2}{ }^{2}, a_{3}{ }^{3}, a_{4}{ }^{4}$ 依次构成等比数列？并说明理由；

（3）是否存在 $a_{1}, d$ 及正整数 $n, k$ ，使得 $a_{1}{ }^{n}, a_{2}{ }^{n+k}, a_{3}{ }^{n+2 k}, a_{4}{ }^{n+3 k}$ 依次构成等比数列？并说明理由。

三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21－
24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4－1：几何证明选讲】

23、（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分8分．

对于定义域为 R 的函数 $g(x)$，若存在正常数 T，使得 $\cos g(x)$ 是以 T 为周期的函数，则称 $g(x)$ 为余弦周期函数，且称 T 为其余弦周期。已知 $f(x)$ 是以 T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为 R．设 $f(x)$ 单调递增，$f(0)=0, f(\mathrm{~T})=4 \pi$．
（1）验证 $h(x)=x+\sin \frac{x}{3}$ 是以 $6 \pi$ 为周期的余弦周期函数；
②设 $a（3）证明：＂$u_{0}$ 为方程 $\cos f(x)=1$ 在 $[0, \mathrm{~T}]$ 上得解＂的充要条件是＂$u_{0}+\mathrm{T}$ 为方程 $\cos f(x)=1$ 在 $[\mathrm{T}, 2 \mathrm{~T}]$ 上有解＂，并证明对任意 $x \in[0, \mathrm{~T}]$ 都有 $f(x+\mathrm{T})=f(x)+f(\mathrm{~T})$．

20．（13 分）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前 $n$ 项的最大值记为 $A_{n}$ ，第 $n$ 项之后各项 $a_{n+1}, a_{n+2} \ldots$ 的最小值记为 $B_{n}, d_{n}=A_{n}-B_{n}$ ．
（I）若 $\left\{a_{n}\right\}$ 为 $2,1,4,3,2,1,4,3 \ldots$ ，是一个周期为 4 的数列（即对任意 $\left.n \in N^{*}, a_{n+4}=a_{n}\right)$ ，写出 $d_{1}, d_{2}, d_{3}, d_{4}$ 的值；
（II）设 $d$ 是非负整数，证明：$d_{n}=-d(n=1,2,3 \ldots)$ 的充分必要条件为 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公差为 d 的等差数列；
（III）证明：若 $a_{1}=2, d_{n}=1(n=1,2,3, \ldots)$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的项只能是 1 或者 2 ，且有无穷多项为 1 ．

19．（14 分）直线 $y=k x+m(m \neq 0)$ 与椭圆W：$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ 相交于 $A, C$ 两点，$O$ 是坐标原点．
（I）当点 B 的坐标为 $(0,1)$ ，且四边形 OABC 为菱形时，求 AC 的长；
（II）当点 $B$ 在 $W$ 上且不是 $W$ 的顶点时，证明：四边形 $O A B C$ 不可能为菱形。

20．（14分）给定数列 $\mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2}, \ldots, \mathrm{a}_{\mathrm{n}}$ ．对 $\mathrm{i}=1,2, \ldots, \mathrm{n}-1$ ，该数列前 i 项的最大值记为 $A_{i}$ ，后 $n-i$ 项 $a_{i+1}, a_{i+2}, \ldots, a_{n}$ 的最小值记为 $B_{i}, d_{i}=A_{i}-B_{i}$ ．
（I）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为3，4，7，1，写出 $d_{1}, d_{2}, d_{3}$ 的值；
（II）设 $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n-1}(n \geqslant 4)$ 是公比大于 1 的等比数列，且 $a_{1}>0$ ．证明： $\mathrm{d}_{1}, \mathrm{~d}_{2}, \ldots, \mathrm{~d}_{\mathrm{n}-1}$ 是等比数列；
（III）设 $d_{1}, d_{2}, \ldots, d_{n-1}$ 是公差大于 0 的等差数列，且 $d_{1}>0$ ．证明：$a_{1}$ ， $a_{2}, \ldots, a_{n-1}$ 是等差数列．

17．（本小题满分 12 分）
设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公比为 q 的等比数列．
（I）推导 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 n 项和公式；
（II）设 $\mathrm{q} \neq 1$，证明数列 $\left\{a_{n}+1\right\}$ 不是等比数列．

22．（本小题满分 14 分）
正实数数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1, a_{2}=5$ ，且 $\left\{a_{n}^{2}\right\}$ 成等差数列．
（1）证明数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中有无穷多项为无理数；
（2）当 $n$ 为何值时，$a_{n}$ 为整数，并求出使 $a_{n}<200$ 的所有整数项的和．

（20）（本小题共 13 分）
数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, a_{n+1}=\left(n^{2}+n-\lambda\right) a_{n}(n=1,2, \ldots \ldots), \lambda$ 是常数．
（I）当 $a_{2}=-1$ 时，求 $\lambda$ 及 $a_{3}$ 的值；
（II）数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由 ；
（III）求 $\lambda$ 的取值范围，使得存在正整数 $m$ ，当 $n>m$ 时总有 $a_{\mathrm{n}}<0$ ．

## 2008年普通高等学校招生全国统一考试