（5分）等差数列 a_ n 的前 n 项和为 S_ n ,…——2017 高考数学第 15 题答案解析

【考点】85：等差数列的前 n 项和； 8 E ：数列的求和．
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列

【分析】利用已知条件求出等差数列的前 n 项和，然后化简所求的表达式，求解即可。

【解答】解：等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{3}=3, S_{4}=10, S_{4}=2\left(a_{2}+a_{3}\right)=10$ ，可得 $a_{2}=2$ ，数列的首项为 1 ，公差为 1 ， $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}{2}, \frac{1}{\mathrm{~S}_{\mathrm{n}}}=\frac{2}{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}=2\left(\frac{1}{\mathrm{n}}-\frac{1}{\mathrm{n}+1}\right)$ ，则 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{S_{k}}=2\left[1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right]=2 \quad\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=\frac{2 n}{n+1}$ ．故答案为：$\frac{2 \mathrm{n}}{\mathrm{n}+1}$ ．
【点评】本题考查等差数列的求和，裂项消项法求和的应用，考查计算能力．