裂项相消法　·　历年高考数学真题与解析

10．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, a_{n+1}=\frac{a_{n}}{1+\sqrt{a_{n}}}\left(n \in \mathrm{~N}^{*}\right)$ ．记数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（ ）

15．（5分）等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{3}=3, S_{4}=10$ ，则 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{S_{k}}=-\frac{2 n}{\underline{n+1}}$－

17．（12分）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}+3 a_{2}+\ldots+(2 n-1) a_{n}=2 n$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\left\{\frac{{ }^{a} n}{2 n+1}\right\}$ 的前 $n$ 项和．

11．（5分）（2015•江苏）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1$ ，且 $a_{n+1}-a_{n}=n+1 \quad\left(n \in N^{*}\right)$ ，则数列 $\left\{\frac{1}{a_{n}}\right\}$的前 10 项的和为 $\_\_\_\_$。

17．（12分） $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ 为数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和，已知 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}>0, \mathrm{a}_{\mathrm{n}}{ }^{2}+2 \mathrm{a}_{\mathrm{n}}=4 \mathrm{~S}_{\mathrm{n}}+3$
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式：
（II）设 $b_{n}=\frac{1}{a_{n} a_{n+1}}$ ，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和。

18．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递增的等比数列，且 $a_{1}+a_{4}=9, a_{2} a_{3}=8$ ．
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；

（II）设 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，$b_{n}=\frac{a_{n+1}}{S_{n} S_{n+1}}$ ，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

19．（本小题满分 14 分）

设各项均为正数的数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n}$ 满足 $S_{n}^{2}-\left(n^{2}+n-3\right) S_{n}-3\left(n^{2}+n\right)=0, n \in N^{*}$ ．
（1）求 $a_{1}$ 的值；
（2）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（3）证明：对一切正整数 $n$ ，有 $\frac{1}{a_{1}\left(a_{1}+1\right)}+\frac{1}{a_{2}\left(a_{2}+1\right)}+\cdots \frac{1}{a_{n}\left(a_{n}+1\right)}<\frac{1}{3}$ ．

18．（12分）等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1}=13$ ，$a_{2}$ 为整数，且 $S_{n} \leq S_{4}$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
②设 $b_{n}=\frac{1}{a_{n} a_{n+1}}$ ，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

17．（12分）已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{3}=0, S_{5}=-5$ ．
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）求数列 $\left\{\frac{1}{a_{2 n-1} a_{2 n+1}}\right\}$ 的前 $n$ 项和。

17．（10分）等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{7}=4, a_{19}=2 a_{9}$ ，
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\frac{1}{\mathrm{n} \mathrm{a}_{\mathrm{n}}}$ ，求数列 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ ．

19．（2013广东，文19）（本小题满分14分）设各项均为正数的数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $4 S_{n}=a_{n+1}^{2}-4 n -1, n \in \mathrm{~N}^{*}$ ，且 $a_{2}, a_{5}, a_{14}$ 构成等比数列。
（1）证明：$a_{2}=\sqrt{4 a_{1}+5}$ ；
（2）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（3）证明：对一切正整数 $n$ ，有 $\frac{1}{a_{1} a_{2}}+\frac{1}{a_{2} a_{3}}+\cdots+\frac{1}{a_{n} a_{n+1}}<\frac{1}{2}$ ．

5．（5分）已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{5}=5, S_{5}=15$ ，则数列 $\left\{\frac{1}{a_{n} a_{n+1}}\right\}$的前 100 项和为（ ）

20．（12分）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=0$ 且 $\frac{1}{1-a_{n+1}}-\frac{1}{1-a_{n}}=1$ ．
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\frac{1-\sqrt{\mathrm{a}_{\mathrm{n}+1}}}{\sqrt{\mathrm{n}}}$ ，记 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\sum_{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{n}} \mathrm{b}_{\mathrm{k}}$ ，证明： $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}<1$ ．

20．（本小题满分 13 分）
给出下面的数表序列：

其中表 $\mathrm{n}(\mathrm{n}=1,2,3 \cdots)$ 有 n 行，第1行的 n 个数是1，3，5，⋯2n－
1，从第 2 行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。
（1）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表 $n ~(n \geqslant 3) ~($ 不要求证明）；
（II）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列 $1,4,12 \cdots$ ，记此数列为
$\left\{b_{n}\right\}$ 求和：$\frac{b_{3}}{b_{1} b_{2}}+\frac{b_{4}}{b_{2} b_{3}}+\cdots \frac{b_{n+2}}{b_{n} b_{n+1}} \quad\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ ．

20．（本小题满分 14 分）
已知点 $\left(1, \frac{1}{3}\right)$ 是函数 $f(x)=a^{x}(a>0$ ，且 $a \neq 1)$ 的图像上一点。等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 n 项和为 $f(n)-c$ 。数列 $\left\{b_{n}\right\}\left(b_{n}>0\right)$ 的首项为 c ，且前 n 项和 $s_{n}$ 满足 $s_{n}-s_{n-1}=\sqrt{s_{n}}+\sqrt{s_{n-1}}(n \geqslant 2)$
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）若数列 $\left\{\frac{1}{b_{n} b_{n+1}}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，问满足 $T_{n}>\frac{1000}{2009}$ 的最小正整数 $n$ 是多少？

（22）（本小题满分 14 分）
设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 n 项和为 $s_{n}$ ，对任意的正整数 n ，都有 $a_{n}=5 s_{n}+1$ 成立，记 $b_{n}=\frac{4+a_{n}}{1-a_{n}}\left(n \in N^{+}\right) .$.
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 与数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 n 项和为 $\mathrm{R}_{n}$ ，是否存在正整数 k ，使得 $R_{k} \geq 4 k$ 成立？若存在，找出一个正整数 k ；若不存在，请说明理由；
（III）记 $c_{n}=b_{2 n}-b_{2 n-1}\left(n \in N^{+}\right)$，设数列 $\left|c_{n}\right|$ 的前 n 项和味 $T_{n}$ ，求证：对任意正整数 n ，都有 $T_{n}<\frac{3}{2}$ ．

19．（本小题满分 12 分）
等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 各项均为正整数，$a_{1}=3$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 中，$b_{1}=1$ ，且 $b_{2} S_{2}=64,\left\{b_{n}\right\}$ 是公比为 64 的等比数列．
（1）求 $a_{n}$ 与 $b_{n}$ ；
（2）证明：$\frac{1}{S_{1}}+\frac{1}{S_{2}}+\cdots \cdots+\frac{1}{S_{n}}<\frac{3}{4}$ ．