裂项相消法　·　历年高考数学真题与解析

15．（5分）等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{3}=3, S_{4}=10$ ，则 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{S_{k}}=-\frac{2 n}{\underline{n+1}}$－

17．（12分）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}+3 a_{2}+\ldots+(2 n-1) a_{n}=2 n$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\left\{\frac{{ }^{a} n}{2 n+1}\right\}$ 的前 $n$ 项和．

11．（5分）（2015•江苏）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1$ ，且 $a_{n+1}-a_{n}=n+1 \quad\left(n \in N^{*}\right)$ ，则数列 $\left\{\frac{1}{a_{n}}\right\}$的前 10 项的和为 $\_\_\_\_$。

17．（12分） $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ 为数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和，已知 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}>0, \mathrm{a}_{\mathrm{n}}{ }^{2}+2 \mathrm{a}_{\mathrm{n}}=4 \mathrm{~S}_{\mathrm{n}}+3$
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式：
（II）设 $b_{n}=\frac{1}{a_{n} a_{n+1}}$ ，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和。

3．执行如图所示的程序框图，如果输入 $n=3$，则输出的 $S=$

5、执行如图2所示的程序框图，如果输入 $\mathrm{n}=3$，中输入的 $\mathrm{S}=$

（8）执行如图所示的程序框图，若输入 $n=8$，则输出的 $S=$

（8）执行如图所示的程序框图，若输入 $n=10$，则输出的 $S=$

5．（5分）已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{5}=5, S_{5}=15$ ，则数列 $\left\{\frac{1}{a_{n} a_{n+1}}\right\}$的前 100 项和为（ ）