（5分）（2015•江苏）设数列 a_ n 满足 a_ 1…——2015 高考数学第 11 题答案解析

【解答】
（5分）
考点 数列的求和；数列递推式。

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专题 等差数列与等比数列．
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分析 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1$ ，且 $a_{n+1}-a_{n}=n+1 ~\left(n \in N^{*}\right)$ ，利用＂累加求和＂可得 $a_{n}=\frac{n(n+1)}{2}$ ．
再利用＂裂项求和＂即可得出。
解答 解：∵ 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1$ ，且 $a_{n+1}-a_{n}=n+1 ~\left(n \in N^{*}\right)$ ，
：$\quad \therefore$ 当 $n \geq 2$ 时，$a_{n}=\left(a_{n}-a_{n-1}\right)+\ldots+\left(a_{2}-a_{1}\right)+a_{1}=+n+\ldots+2+1=\frac{n(n+1)}{2}$ ．
当 $\mathrm{n}=1$ 时，上式也成立，
$\therefore \mathrm{a}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}{2}$ ．
$\therefore \frac{1}{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}}=\frac{2}{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}=2\left(\frac{1}{\mathrm{n}}-\frac{1}{\mathrm{n}+1}\right)$ ．
∴ 数列 $\left\{\frac{1}{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}}\right\}$ 的前 n 项的和 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=2\left[\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{\mathrm{n}}-\frac{1}{\mathrm{n}+1}\right)\right]$
$=2\left(1-\frac{1}{n+1}\right)$
$=\frac{2 n}{n+1}$.
∴ 数列 $\left\{\frac{1}{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}}\right\}$ 的前 10 项的和为 $\frac{20}{11}$ ．
故答案为：$\frac{20}{11}$ ．
点评 本题考查了数列的＂累加求和＂方法、＂裂项求和＂方法、等差数列的前 n 项和公式，考
：查了推理能力与计算能力，属于中档题。