设 a (0,1)，若函数 f(x)=a^ x +(1+a…——2023 高考数学第 16 题答案解析

【答案】 $\left[\frac{\sqrt{5}-1}{2}, 1\right)$

【解析】

【分析】原问题等价于 $f^{\prime}(x)=a^{x} \ln a+(1+a)^{x} \ln (1+a) \geq 0$ 恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得 $\left(\frac{1+a}{a}\right)^{x} \geq-\frac{\ln a}{\ln (1+a)}$ ，由右侧函数的单调性可得实数 $a$ 的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数 $a$ 的取值范围．

【详解】由函数的解析式可得 $f^{\prime}(x)=a^{x} \ln a+(1+a)^{x} \ln (1+a) \geq 0$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上恒成立，则 $(1+a)^{x} \ln (1+a) \geq-a^{x} \ln a$ ，即 $\left(\frac{1+a}{a}\right)^{x} \geq-\frac{\ln a}{\ln (1+a)}$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上恒成立，故 $\left(\frac{1+a}{a}\right)^{0}=1 \geq-\frac{\ln a}{\ln (1+a)}$ ，而 $a+1 \in(1,2)$ ，故 $\ln (1+a)>0$ ，故 $\left\{\begin{array}{l}\ln (a+1) \geq-\ln a \\ 0<a<1\end{array}\right.$ 即 $\left\{\begin{array}{l}a(a+1) \geq 1 \\ 0<a<1\end{array}\right.$ ，故 $\frac{\sqrt{5}-1}{2} \leq a<1$ ，

结合题意可得实数 $a$ 的取值范围是 $\left[\frac{\sqrt{5}-1}{2}, 1\right)$ ．
故答案为：$\left[\frac{\sqrt{5}-1}{2}, 1\right)$ ．