21．（本小题满分 14 分）
设 $a<1$ ，集合 $A=\{x \in R \mid x>0\}, B=\left\{x \in R \mid 2 x^{2}-3(1+a) x+6 a>0\right\}, D=A \cap B$ ．
（1）求集合 $D$（用区间表示）；
（2）求函数 $f(x)=2 x^{3}-3(1+a) x^{2}+6 a x$ 在 $D$ 内的极值点．
（本小题满分 14 分） 设 a<1，集合 A= x R…——2012 高考数学第 21 题答案解析
2012_退役省自主命题 (2012·理)
完整解析 · 逐步详解
【解答】 ②当 $0 $$
D=\left(0, \frac{3+3 a-\sqrt{9 a^{2}-30 a+9}}{4}\right) \cup\left(\frac{3+3 a+\sqrt{9 a^{2}-30 a+9}}{4},+\infty\right)
$$ （3）当 $a \leq 0, D=\left(\frac{3+3 a+\sqrt{9 a^{2}-30 a+9}}{4},+\infty\right)$ $$
h(a)=2 a^{2}-3(1+a) a+6 a=3 a-a^{2}>0
$$ $\therefore 1 \notin D, a \in D$
（1）记 $h(x)=2 x^{2}-3(1+a) x+6 a(a<1)$
$\Delta=9(1+a)^{2}-48 a=(3 a-1)(3 a-9)$
①当 $\Delta<0$ ，即 $\frac{1}{3}
②由 $f^{\prime}(x)=6 x^{2}-6(1+a) x+6 a=0$ 得 $x=1$ ，$a$ 得
（1）当 $\frac{1}{3}
$\therefore f(x)$ 在D内有一个极大值点 $a$
（3）当 $a \leq 0$ ，则 $a \notin D$
又 $\because h(1)=2-3(1+a)+6 a=3 a-1<0$
$\therefore f(x)$ 在D内有无极值点
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