已知 9 ^ m = 1 0 , a = 1 0 ^ m…——2022 高考数学第 12 题答案解析

【答案】A

【解析】

【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知 $m = \log _ { 9 } 1 0 > 1$ ，再利用基本不等式，换底公式可得$m > \lg 1 1$ $\log _ { 8 } 9 > m$ ，然后由指数函数的单调性即可解出

【详解】由 $9 ^ { m } = 1 0$ 可得 $m = \log _ { 9 } 1 0 = \frac { \lg 1 0 } { \lg 9 } > 1$ ，而

lg $9 \lg 1 1 < { \Biggl ( } { \frac { \lg 9 + \lg 1 1 } { 2 } } { \Biggr ) } ^ { 2 } = { \Biggl ( } { \frac { \lg 9 9 } { 2 } } { \Biggr ) } ^ { 2 } < 1 = { \bigl ( } \lg 1 0 { \bigr ) } ^ { 2 }$ ，所以 ${ \frac { \lg 1 0 } { \lg 9 } } > { \frac { \lg 1 1 } { \lg 1 0 } } $ ，即 $m > \lg 1 1$ ，所以$a = 1 0 ^ { m } - 1 1 > 1 0 ^ { \lfloor { \mathrm { g l } } 1 } - 1 1 = 0$

又 $\lg 8 \lg 1 0 < \left( { \frac { \lg 8 + \lg 1 0 } { 2 } } \right) ^ { 2 } = \left( { \frac { \lg 8 0 } { 2 } } \right) ^ { 2 } < \left( \lg 9 \right) ^ { 2 }$ ，所以 $\frac { \log 9 } { \log 8 } > \frac { \log 1 0 } { \log 9 }$ ，即 $\log _ { 8 } 9 > m$

所以 $b = 8 ^ { m } - 9 < 8 ^ { \mathrm { l o g } _ { 8 } 9 } - 9 = 0$ ．综上， $a > 0 > b$

故选：A.