已知 F_ 1 , F_ 2 是双曲线 C 的两个焦点，…——2021 高考数学第 5 题答案解析

【答案】A
【解析】
【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出 $\left|P F_{1}\right|,\left|P F_{2}\right|$ ，结合余弦定理可得答案．
【详解】因为 $\left|P F_{1}\right|=3\left|P F_{2}\right|$ ，由双曲线的定义可得 $\left|P F_{1}\right|-\left|P F_{2}\right|=2\left|P F_{2}\right|=2 a$ ，
所以 $\left|P F_{2}\right|=a,\left|P F_{1}\right|=3 a$ ；

因为 $\angle F_{1} P F_{2}=60^{\circ}$ ，由余弦定理可得 $4 c^{2}=9 a^{2}+a^{2}-2 \times 3 a \cdot a \cdot \cos 60^{\circ}$ ，

整理可得 $4 c^{2}=7 a^{2}$ ，所以 $e^{2}=\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{7}{4}$ ，即 $e=\frac{\sqrt{7}}{2}$ ．
故选：A
【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立 $a, c$ 间的等量关系是求解的关键．