记 S_ n 为数列 a_ n 的前 n 项和．已知 2…——2022 高考数学第 17 题答案解析

【答案】（1）证明见解析；
（2）-78 ．

【解析】

【分析】（1）依题意可得 $2 S_{n}+n^{2}=2 n a_{n}+n$ ，根据 $a_{n}=\left\{\begin{array}{l}S_{1}, n=1 \\ S_{n}-S_{n-1}, n \geq 2\end{array}\right.$ ，作差即可得到 $a_{n}-a_{n-1}=1$ ，从而得证；
（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出 $a_{1}$ ，即可得到 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式与前 $n$ 项和，再根据二次函数的性质计算可得。

【小问 1 详解】

因为 $\frac{2 S_{n}}{n}+n=2 a_{n}+1$ ，即 $2 S_{n}+n^{2}=2 n a_{n}+n$①，

当 $n \geq 2$ 时， $2 S_{n-1}+(n-1)^{2}=2(n-1) a_{n-1}+(n-1)$②，
①－②得， $2 S_{n}+n^{2}-2 S_{n-1}-(n-1)^{2}=2 n a_{n}+n-2(n-1) a_{n-1}-(n-1)$ ，
即 $2 a_{n}+2 n-1=2 n a_{n}-2(n-1) a_{n-1}+1$ ，
即 $2(n-1) a_{n}-2(n-1) a_{n-1}=2(n-1)$ ，所以 $a_{n}-a_{n-1}=1, n \geq 2$ 且 $n \in \mathrm{~N}^{*}$ ，
所以 $\left\{a_{n}\right\}$ 是以 1 为公差的等差数列。

【小问 2 详解】

**方法一**：二次函数的性质

由（1）可得 $a_{4}=a_{1}+3, a_{7}=a_{1}+6, a_{9}=a_{1}+8$ ，

又 $a_{4}, a_{7}, a_{9}$ 成等比数列，所以 $a_{7}^{2}=a_{4} \cdot a_{9}$ ，
即 $\left(a_{1}+6\right)^{2}=\left(a_{1}+3\right) \cdot\left(a_{1}+8\right)$ ，解得 $a_{1}=-12$ ，
所以 $a_{n}=n-13$ ，所以 $S_{n}=-12 n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{1}{2} n^{2}-\frac{25}{2} n=\frac{1}{2}\left(n-\frac{25}{2}\right)^{2}-\frac{625}{8}$ ，
所以，当 $n=12$ 或 $n=13$ 时，$\left(S_{n}\right)_{\text {min }}=-78$ ．

**方法二**：【最优解】邻项变号法

由（1）可得 $a_{4}=a_{1}+3, a_{7}=a_{1}+6, a_{9}=a_{1}+8$ ，

又 $a_{4}, a_{7}, a_{9}$ 成等比数列，所以 $a_{7}{ }^{2}=a_{4} \cdot a_{9}$ ，

即 $\left(a_{1}+6\right)^{2}=\left(a_{1}+3\right) \cdot\left(a_{1}+8\right)$ ，解得 $a_{1}=-12$ ，

所以 $a_{n}=n-13$ ，即有 $a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{12}<0, a_{13}=0$ ．

则当 $n=12$ 或 $n=13$ 时，$\left(S_{n}\right)_{\text {min }}=-78$ ．

【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出 $S_{n}$ 的最小值，适用于可以求出 $S_{n}$ 的表达式；
法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．