12．（5分）已知椭圆 C ：$\frac{\mathrm{x}^{2}}{2}+\mathrm{y}^{2}=1$ 的右焦点为 F ，右准线为 I ，点 $\mathrm{A} \in \mathrm{I}$ ，线段 AF 交 C于点 B ，若 $\overrightarrow{\mathrm{FA}}=3 \overrightarrow{\mathrm{FB}}$ ，则 $|\overrightarrow{\mathrm{AF}}|=$（ ）
参考答案A
（5分）已知椭圆 C： x ^ 2 2 + y ^ 2 =…——2009 高考数学第 12 题答案解析
2009_旧全国 I 卷 (2009·文)
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【考点】K4：椭圆的性质．
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】过点 $B$ 作 $B M \perp x$ 轴于 $M$ ，设右准线 $I$ 与 $x$ 轴的交点为 $N$ ，根据椭圆的性质可知 $F N=1$ ，进而根据 $\overrightarrow{F A}=3 \overrightarrow{F B}$ ，求出 $B M$ ，$A N$ ，进而可得 $|A F|$ ．
【解答】解：过点 B 作 $\mathrm{BM} \perp \mathrm{x}$ 轴于 M ，
并设右准线 I 与 x 轴的交点为 N ，易知 $\mathrm{FN}=1$ ．
由题意 $\overrightarrow{\mathrm{FA}}=3 \overrightarrow{\mathrm{FB}}$ ，
故 $\mathrm{FM}=\frac{1}{3}$ ，故 B 点的横坐标为 $\frac{4}{3}$ ，纵坐标为 $\pm \frac{1}{3}$
即 $\mathrm{BM}=\frac{1}{3}$ ，
故AN $=1$ ，
$\therefore|\mathrm{AF}|=\sqrt{2}$ ．
故选：A．
【点评】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，属基础题．
✅ 来源：2009年 · 全国 · 2009_旧全国 I 卷 (2009·文) · 第 12 题 · 本题已通过人工审核与系统自动校验
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