已知正方体 A B C D-A_ 1 B_ 1 C_ 1…——2022 高考数学第 9 题答案解析

【答案】ABD
【解析】
【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可．

【详解】如图，连接 $B_{1} C , B C_{1}$ ，因为 $D A_{1} / / B_{1} C$ ，所以直线 $B C_{1}$ 与 $B_{1} C$ 所成的角即为直线 $B C_{1}$ 与 $D A_{1}$ 所成的角，

因为四边形 $B B_{1} C_{1} C$ 为正方形，则 $B_{1} C \perp B C_{1}$ ，故直线 $B C_{1}$ 与 $D A_{1}$ 所成的角为 $90^{\circ}$ ，A正确；

连接 $A_{1} C$ ，因为 $A_{1} B_{1} \perp$ 平面 $B B_{1} C_{1} C, B C_{1} \subset$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ，则 $A_{1} B_{1} \perp B C_{1}$ ，
因为 $B_{1} C \perp B C_{1}, A_{1} B_{1} \cap B_{1} C=B_{1}$ ，所以 $B C_{1} \perp$ 平面 $A_{1} B_{1} C$ ，
又 $A_{1} C \subset$ 平面 $A_{1} B_{1} C$ ，所以 $B C_{1} \perp C A_{1}$ ，故 B 正确；
连接 $A_{1} C_{1}$ ，设 $A_{1} C_{1} \cap B_{1} D_{1}=O$ ，连接 $B O$ ，
因为 $B B_{1} \perp$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}, C_{1} O \subset$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，则 $C_{1} O \perp B_{1} B$ ，
因为 $C_{1} O \perp B_{1} D_{1}, B_{1} D_{1} \cap B_{1} B=B_{1}$ ，所以 $C_{1} O \perp$ 平面 $B B_{1} D_{1} D$ ，
所以 $\angle C_{1} B O$ 为直线 $B C_{1}$ 与平面 $B B_{1} D_{1} D$ 所成的角，
设正方体棱长为1，则 $C_{1} O=\frac{\sqrt{2}}{2}, B C_{1}=\sqrt{2}, \sin \angle C_{1} B O=\frac{C_{1} O}{B C_{1}}=\frac{1}{2}$ ，
所以，直线 $B C_{1}$ 与平面 $B B_{1} D_{1} D$ 所成的角为 $30^{\circ}$ ，故 C 错误；
因为 $C_{1} C \perp$ 平面 $A B C D$ ，所以 $\angle C_{1} B C$ 为直线 $B C_{1}$ 与平面 $A B C D$ 所成的角，易得 $\angle C_{1} B C=45^{\circ}$ ，故 D 正确．

故选：ABD