已知函数 f(x)= array ll 2 x , & 0…——2019 高考数学第 8 题答案解析

【解答】
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 \sqrt{x}, & 0, x, 1, \\ \frac{1}{x}, & x>1 .\end{array}\right.$ 若关于 $x$ 的方程 $f(x)=-\frac{1}{4} x+a \quad(a \in R)$ 恰有两个互异的实数解，则 $a$ 的取值范围为
A．$\left[\frac{5}{4}, \frac{9}{4}\right]$
B．$\left(\frac{5}{4}, \frac{9}{4}\right]$
C．$\left(\frac{5}{4}, \frac{9}{4}\right] \cup\{1\}$
D．$\left[\frac{5}{4}, \frac{9}{4}\right] \cup\{1\}$

【答案】D

## 【解析】

## 【分析】

画出 $f(x)$ 图象及直线 $y=-\frac{1}{4} x+a$ ，借助图象分析。
【详解】如图，当直线 $y=-\frac{1}{4} x+a$ 位于 $B$ 点及其上方且位于 $A$ 点及其下方，
或者直线 $y=-\frac{1}{4} x+a$ 与曲线 $y=\frac{1}{x}$ 相切在第一象限时符合要求。
即 $1 \leq-\frac{1}{4}+a \leq 2$ ，即 $\frac{5}{4} \leq a \leq \frac{9}{4}$ ，
或者 $-\frac{1}{x^{2}}=-\frac{1}{4}$ ，得 $x=2, y=\frac{1}{2}$ ，即 $\frac{1}{2}=-\frac{1}{4} \times 2+a$ ，得 $a=1$ ，
所以 $a$ 的取值范围是 $\left[\frac{5}{4}, \frac{9}{9}\right] \cup\{1\}$ 。
故选D。

【点睛】根据方程实根个数确定参数范围，常把其转化为曲线交点个数，特别是其中一条为直线时常用此法。

绝密★启用前

## 第 II 卷

## 注意事项：